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Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955 , lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée . C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en) , qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i . Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins , sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).
n
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(2i)n
1/256
i/128
−1/64
−i/32
1/16
i/8
−1/4
−i/2
1
2i
−4
−8i
16
32i
−64
−128i
256
Base 10
Base 2i
1
1
2
2
3
3
4
10300
5
10301
6
10302
7
10303
8
10200
9
10201
10
10202
11
10203
12
10100
13
10101
14
10102
15
10103
16
10000
Base 10
Base 2i
–1
103
−2
102
−3
101
−4
100
−5
203
−6
202
−7
201
−8
200
−9
303
−10
302
−11
301
−12
300
−13
1030003
−14
1030002
−15
1030001
−16
1030000
Base 10
Base 2i
i
10,2
2i
10
3i
20,2
4i
20
5i
30,2
6i
30
7i
103000,2
8i
103000
9i
103010,2
10i
103010
11i
103020,2
12i
103020
13i
103030,2
14i
103030
15i
102000,2
16i
102000
Base 10
Base 2i
−i
0,2
−2i
1030
−3i
1030,2
−4i
1020
−5i
1020,2
−6i
1010
−7i
1010,2
−8i
1000
−9i
1000,2
−10i
2030
−11i
2030,2
−12i
2020
−13i
2020,2
−14i
2010
−15i
2010,2
−16i
2000
−
31
10
=
d
0
+
d
2
(
2
i
)
2
+
d
4
(
2
i
)
4
+
d
6
(
2
i
)
6
+
⋯
=
d
0
−
4
d
2
+
16
d
4
−
64
d
6
+
⋯
⇔
{\displaystyle -31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow }
d
0
=
1
,
8
10
=
d
2
−
4
d
4
+
16
d
6
−
⋯
⇔
{\displaystyle d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow }
d
0
=
1
,
d
2
=
0
,
−
2
10
=
d
4
−
4
d
6
+
⋯
⇔
{\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow }
d
0
=
1
,
d
2
=
0
,
d
4
=
2
,
d
6
=
1
,
d
8
=
⋯
=
0
{\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0}
donc
−
31
10
=
1020001
2
i
.
{\displaystyle -31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.}
De même,
15
10
=
10103
2
i
.
{\displaystyle 15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.}
31
4
=
−
31
(
2
i
)
−
2
=
10200
,
01
2
i
.
{\displaystyle {\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.}
La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi :
−
15
i
2
=
15
(
2
i
)
−
1
=
1010
,
3
2
i
.
{\displaystyle -{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.}
31
4
−
15
2
i
=
10200
,
01
2
i
+
1010
,
3
2
i
=
11210
,
31
2
i
.
{\displaystyle {\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.}
1 à 9
unaire (1) , binaire (2) , ternaire (3) , quaternaire (4) , quinaire (5) , sénaire (6) , septénaire (7) , octal (8) , nonaire (9)
10 à 60
décimal (10) , undécimal (11) , duodécimal (12) , tridécimal (13) , quindécimal (15) , hexadécimal (16) , octodécimal (18) , vicésimal (20) , base 36 , sexagésimal (60)
Autre base
base d'or (φ) , mixte , négabinaire (–2) , négaternaire (-3) , bases complexes (en) : quater-imaginaire (2i )
Notions