Rostislav Grigorchuk

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Rostislav Ivanovich Grigorchuk
Rostislav Grigorchuk (à gauche) à Oberwolfach en 2006
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Anatoly Stepin (en), I. M. Glushkin (d)Voir et modifier les données sur Wikidata
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Rostislav Ivanovich Grigorchuk (en russe : Ростисла́в Ива́нович Григорчу́к, né le ) est un mathématicien soviétique et russe travaillant dans le domaine de la théorie des groupes. Il occupe depuis 2008 un poste de distinguished professor dans le département de mathématiques de l'Université A&M du Texas. Grigorchuk est particulièrement renommé pour avoir construit, dans un article paru en 1984[1], le premier exemple d'un groupe finiment engendré à « croissance intermédiaire ». Il répond par là à un problème posé par John Milnor en 1968. Ce groupe est maintenant connu sous le nom de groupe de Grigorchuk[2],[3],[4],[5],[6]. Il intervient en théorie géométrique des groupes, en particulier dans l'étude des groupes automatiques et des groupes de monodromie itérés.

Éléments biographiques[modifier | modifier le code]

Rostislav I. Grigorchuk est né le dans l'oblast de Ternopil, maintenant en Ukraine (en 1953 encore dans l'USSR)[7]. Il est diplômé de l'université d'État de Moscou en 1975, et obtient un doctorat (candidat ès sciences) en mathématiques en 1978, aussi à l’Université d'État de Moscou, sous la direction de Anatoly Mikhailovich Stepin (en)[8] (« Banach Means on Homogeneous Spaces and Random Walks »). Grigorchuk soutient une habilitation (Doctorat en science) en mathématiques en 1985 à l'Institut de mathématiques Steklov à Moscou (« Groups with intermediate growth function and their applications »)[7]. Pendant les années 1980 et 1990, Rostislav Grigorchuk occupe des postes à l'Institut des chemins de fer de Moscou (1978-1995), puis à l'Institut de mathématiques Steklov à partir de 1995 et à l'université d'État de Moscou (2001-2002)[7]. En 2002, Grigorchuk rejoint l'Université A&M du Texas en tant que professeur en mathématiques, et il est promu Distinguished Professor en 2008[9].

Contributions mathématiques[modifier | modifier le code]

Grigorchuk est connu pour avoir construit le premier exemple d'un groupe à croissance intermédiaire finiment engendré. Dans ce problème, on considère des groupes infinis finiment engendrés et on se demande comment croît le nombre d'éléments du groupe après n compositions des générateurs ; John Milnor se demandait si une croissance entre polynomial et exponentiel (donc intermédiaire) est possible. Le groupe en exemple est maintenant appelé le « groupe de Grigorchuk », aussi « premier groupe de Grigorchuk » parce que Grigorchuk en a construit d'autres par la suite. Ce groupe a un taux de croissance plus rapide que tout polynôme et plus lent qu'une exponentielle. Grigorchuk décrit ce groupe dans un article paru en 1980[10] et démontre qu'il est à croissance intermédiaire dans un article de 1984[1]. Ce résultat répond à une question posée en 1968 par John Milnor sur l'existence de groupes finiment engendrés qui pourraient être à croissance intermédiaire. Le groupe de Grigorchuk a d'autres propriétés remarquables : c'est un groupe résiduellement fini et un 2-groupe au sens que l'ordre de tout élément est une puissance de 2. C'est aussi le premier exemple de groupe moyennable qui n'est pas élémentairement moyennable ; ceci répond à une autre question, posée par Mahlon Day (en) en 1957[11]. Le groupe de Grigorchuk est infini, mais tous ses groupes quotients sont finis[2].

Le groupe de Grigorchuk est l'objet d'étude dans le cadre des groupes automatiques. L'étude de ces groupes et des groupes auto-similaires, active dans les années 1990 et 2000 a montré nombre de connexions avec d'autres domaines, comme les systèmes dynamiques, la géométrie différentielle, la théorie de Galois, la théorie ergodique, les marches aléatoires, les fractales, algèbres de Hecke, la cohomologie bornée ou l'analyse fonctionnelle. Les groupes auto-similaires apparaissent comme groupes de monodromie itérés de polynômes complexes[12]. Dans ce cadre, Grigorchuk construit, avec P. Linnell, T. Schick, et A. Zuk, un contre-exemple à une conjecture de Michael Atiyah sur les nombres de Betti[13],[14]. Grigorchuk a aussi contribué à la théorie générale des marches aléatoires sur les groupes et la théorie des groupes moyennables, en particulier il obtient en 1980[15] ce qui est appelé le « co-growth criterion » de moyennabilité pour les groupes finiment engendrés (par exemple R. Ortner et W. Woess[16]).

Publications (sélection)[modifier | modifier le code]

  • avec Igor Pak, « Groups of intermediate growth: an introduction », L´Enseignement Mathématique, vol. 54,‎ , p. 251-272 (lire en ligne) — préprint sur arxiv
  • avec Tatiana Nagnibeda, « Complete growth functions of hyperbolic groups », Invent. Math., vol. 130, no 1,‎ , p. 159–188.
  • « On growth in group theory », Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Kyoto, Math. Soc. Japon, vol. I, II (Kyoto, 1990),‎ , p. 325–338.
  • « Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 48, no 5,‎ , p. 939–985.
  • « On the Milnor problem of group growth », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 271, no 1,‎ , p. 30–33.
  • « On Burnside's problem on periodic groups », Funktsional. Anal. i Prilozheniya, vol. 14, no 1,‎ , p. 53–54 (MR 0565099).

Honneurs, invitations et distinctions[modifier | modifier le code]

Articles liés[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ a et b Rostislav I. Grigorchuk, « Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means », Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, vol. 48, no 5,‎ , p. 939-985.
  2. ↑ a et b (en) Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory, Chicago, University of Chicago Press, coll. « Chicago Lectures in Mathematics », , 310 p. (ISBN 978-0-226-31719-9 et 0-226-31719-6, lire en ligne)
  3. ↑ Laurent Bartholdi, « The growth of Grigorchuk's torsion group », International Mathematics Research Notices, no 20,‎ , p. 1049-1054
  4. ↑ Tullio Ceccherini-Silberstein, Antonio Machì et Fabio Scarabotti, « The Grigorchuk group of intermediate growth », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Circolo Matematico di Palermo, 2e série, vol. 50, no 1,‎ , p. 67-102
  5. ↑ (ru) Yu. G. Leonov, « On a lower bound for the growth function of the Grigorchuk group », Matematicheskie Zametki, vol. 67, no 3,‎ , p. 475-477 — Traduction dans les Mathematical Notes, vol. 67 n° 3-4 (2000) p. 403-405.
  6. ↑ Roman Muchnik et Igor Pak, « Percolation on Grigorchuk groups », Communications in Algebra, vol. 29, no 2,‎ , p. 661-671.
  7. ↑ a b c et d Editorial Statement, Algebra and Discrete Mathematics, (2003), no. 4
  8. ↑ (en) « Rostislav I. Grigorchuk », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  9. ↑ 2008 Personal News, Department of Mathematics, Université A&M du Texas.
  10. ↑ Grigorchuk 1980.
  11. ↑ Mahlon M. Day, « Amenable semigroups, Illinois Journal of Mathematics, vol. 1 (1957), pp. 509-544.
  12. ↑ (en) Volodymyr Nekrashevych, Self-similar groups, Providence, RI,, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 117), , 231 p. (ISBN 0-8218-3831-8, lire en ligne).
  13. ↑ R. I. Grigorchuk et A. Zuk, « The lamplighter group as a group generated by a 2-state automaton, and its spectrum » Geometriae Dedicata, vol. 87 (2001), no. 1-3, p. 209-244.
  14. ↑ R. I. Grigorchuk, P. Linnell, T. Schick et A. Zuk, « On a question of Atiyah », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. vol. 331 (2000), no. 9, p. 663-668.
  15. ↑ R. I. Grigorchuk, « Symmetrical random walks on discrete groups », Multicomponent random systems, New York, Marcel Dekker,‎ , p. 285-325 (ISBN 0-8247-6831-0)
  16. ↑ R. Ortner et W. Woess, « Non-backtracking random walks and cogrowth of graphs. », Journal canadien de mathématiques, vol. 59, no 4,‎ , p. 828-844 (lire en ligne)
  17. ↑ Grigorchuk 1991.
  18. ↑ List of Fellows of the American Mathematical Society, retrieved 2013-01-19.
  19. ↑ AMS 2015 Leroy P. Steele Prize
  20. ↑ Preface, International Journal of Algebra and Computation, vol. 15 (2005), no. 5-6, pp. v-vi

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