Algèbre de Hecke

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L′algèbre de Hecke est une déformation du groupe de Coxeter à un paramètre, qui présente un intérêt théorique dans l'étude des nœuds notamment au travers du polynôme de Jones : ces algèbres apparaissent comme quotients des algèbres de groupes de tresses artiniens. L'étude des représentations des algèbres de Hecke a permis à Michio Jimbo (de) de formuler une théorie générale des groupes quantiques. En tant que déformations du groupe de Coxeter, on parle également d'algèbre d'Iwahori-Hecke, en l'honneur des mathématiciens Erich Hecke et Nagayoshi Iwahori (en).

Algèbre de Iwahori-Hecke des groupes de Coxeter[modifier | modifier le code]

On se donne un système de Coxeter de matrice , un anneau (commutatif, unitaire), un système d'unités de tel que, si s et t sont conjugués dans W, alors . Enfin on note l'anneau des polynômes de Laurent à coefficients entiers d'indéterminées  : .

On définit l'algèbre par générateurs pour tout et relations :

  • où on a de part et d'autre termes et (« relations de tresses ») ;
  • pour tout (« relations quadratiques »).

Si R = A, on peut reconstruire (« spécialiser ») toute algèbre au moyen de l'unique homomorphisme d'anneaux qui envoie l'indéterminée sur l'unité . R est alors muni d'une structure de A-algèbre et l'extension des scalaires est canoniquement isomorphe à . La théorie des diagrammes de Dynkin pour les groupes de Coxeter montre que toute paire de générateur de Coxeter est conjuguée. Une conséquence est notamment que l'on peut spécialiser toutes les indéterminées sur un unique élément q, la « déformation », sans perte de généralité.

Représentation des algèbres de Hecke[modifier | modifier le code]

Les représentations complexes des algèbres de Hecke de type fini sont liés aux séries principales sphériques des groupes de Chevalley finis. George Lusztig a montré qu'on pouvait en fait décrire la plupart des caractères des groupes de Lie finis à partir de la théorie des représentations des algèbres de Hecke. Les représentations modulaires et les représentations autour des racines de l'unité sont liées aux bases canoniques des groupes quantiques affines.

Articles connexes[modifier | modifier le code]