Arrondi (mathématiques)

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Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Arrondi entier[modifier | modifier le code]

Lorsqu'il n'y pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

  • l'arrondi entier de 8,37 est 8,
  • l'arrondi entier de 14,72 est 15,
  • l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

  • l'arrondi entier de 4,5 est 5,
  • l'arrondi entier de 18,5 est 19,
  • l'arrondi entier de -2,5 est -3,
  • l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près[modifier | modifier le code]

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.

Calcul pratique[modifier | modifier le code]

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

  1. tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
  2. augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

  1. on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
  2. on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

  1. on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
  2. on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.

Exemple 3[modifier | modifier le code]

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

  1. on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
  2. on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.

Lien avec la partie entière[modifier | modifier le code]

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel  :

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

Généralisation aux nombres complexes[modifier | modifier le code]

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexe. Par exemple :

  • l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
  • l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.

Variantes[modifier | modifier le code]

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.

Arrondi au pair le plus proche[modifier | modifier le code]

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

  • l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
  • l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

  • l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
  • l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

Arrondi stochastique[modifier | modifier le code]

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.

Autres méthodes[modifier | modifier le code]

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

  • la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
  • la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

Zéro négatif[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un nombre négatif est arrondi à zéro, le résultat de l'arrondi est parfois noté -0 pour indiquer ce fait. C'est notamment le cas en météorologie pour les températures.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]