Morphologie mathématique

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Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément structurant en forme de diamant.

La morphologie mathématique est une théorie et technique mathématique et informatique d'analyse de structures qui est liée avec l'algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités.

Le développement de la morphologie mathématique est inspiré des problèmes de traitement d'images, domaine qui constitue son principal champ d'application. Elle fournit en particulier des outils de filtrage, segmentation, quantification et modélisation d'images. Elle est également utilisable en traitement du signal, par exemple pour filtrer les variations d'une mesure (physique, biologique) au cours du temps.

Aperçu général[modifier | modifier le code]

Une des idées de base de la morphologie mathématique est d'étudier ou de traiter un ensemble à l'aide d'un autre ensemble, appelé élément structurant, qui sert de sonde. À chaque position de l'élément structurant, on regarde s'il touche ou s'il est inclus dans l'ensemble initial. En fonction de la réponse, on construit un ensemble de sortie. On obtient ainsi des opérateurs de base qui sont relativement intuitifs.

Des propriétés que l'on retrouve souvent dans les opérateurs morphologiques sont :

Ceci implique en particulier une perte d'information ; bien utilisés, ces opérateurs permettent d'éliminer des structures ne respectant pas certains critères, comme de largeur ou de volume.

La morphologie mathématique s'intéresse aussi aux ensembles et aux fonctions aléatoires.

Le principal domaine d'application de la morphologie mathématique est le traitement d'images. Elle fournit, en particulier, des outils de filtrage, de segmentation et de quantification. Depuis son apparition, en 1964, elle connaît un succès grandissant et désormais contribue à garnir la boite à outils de tout traiteur d'images.

Bref historique[modifier | modifier le code]

La morphologie mathématique a été inventée en 1964 par Georges Matheron et Jean Serra dans les laboratoires de MINES ParisTech. Son développement a toujours été fortement motivé par des applications industrielles. Dans un premier temps, il s'est agi de répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais très vite ses champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique constituent quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une contribution importante.

La morphologie mathématique reste un domaine actif de recherche. En témoignent les nombreuses publications scientifiques sur le sujet, ainsi que les symposiums internationaux sur la morphologie mathématique qui ont lieu tous les deux ou trois ans.

Quelques exemples de thèmes de recherche actuels :

  • ligne de partage des eaux : parallélisation, approche topologique, hiérarchisation ;
  • extension de la morphologie mathématique à des fonctions vectorielles (images en couleurs, images multi-spectrales, etc.).

Opérateurs de base[modifier | modifier le code]

La morphologie mathématique peut être développée dans le cadre abstrait de la théorie des treillis. Cependant, une présentation plus pratique, visant un utilisateur potentiel d'outils de traitement d'images, plutôt qu'un mathématicien, est ici adoptée.

Cas ensembliste[modifier | modifier le code]

Plaçons-nous dans , souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dans , où est un entier strictement positif. Soit un sous-ensemble de , appelé élément structurant. Si est un élément de , alors nous noterons l'ensemble translaté de  :

L'élément structurant joue en quelque sorte le rôle de modèle local, ou de sonde. Il est promené partout sur l'image à traiter, et à chaque position on étudie sa relation avec l'image binaire, considérée comme un ensemble. Ces relations peuvent être du type « est inclus dans l'ensemble », ou « touche l'ensemble », par exemple.

Les éléments structurants les plus classiquement utilisés sont la croix, constituée de l'origine et des quatre points les plus proches, et le carré, constitué de l'origine et des huit points les plus proches. Ces deux éléments structurants correspondent respectivement à deux définitions possibles du voisinage ou de la connexité de l'image.

On introduit aussi le symétrique d'un ensemble, noté  :

Si est symétrique, on a .

Dilatation et érosion[modifier | modifier le code]

Soit un sous-ensemble de . La dilatation morphologique avec l'élément structurant est définie comme la somme de Minkowski[1]:

Une autre formulation plus intuitive est :

La dilatation morphologique n'est, en général, pas inversible. L'opération qui en quelque sorte tente de produire l'inverse de la dilatation est l'érosion morphologique:

La dilatation et l'érosion sont les opérateurs de base de la morphologie mathématique. Pratiquement tous les autres peuvent être définis à l'aide de ceux-ci, en utilisant des compositions de fonctions et des opérations ensemblistes.

Transformation en tout ou rien[modifier | modifier le code]

On peut aussi prendre deux éléments structurants et pour définir des transformations. Si on demande en chaque point à d'être à l'extérieur de l'ensemble et à à l'intérieur on obtient la transformation en tout ou rien (hit or miss transform en anglais) : désigne le complémentaire de l'ensemble . Cette transformation permet de détecter certaines configurations précises de pixels. En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement : en enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement :

En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial (comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des squelettes homotopiques.

Ouverture et fermeture[modifier | modifier le code]

La composition d'une dilatation morphologique avec l'érosion par le même élément structurant ne produit pas, en général, l'identité, mais deux autres opérateurs morphologiques, l'ouverture morphologique : et la fermeture morphologique :

L'ouverture peut être caractérisée géométriquement: elle donne l'union de tous les inclus dans . Ainsi, la forme de l'élément structurant permet de choisir les structures qui peuvent le contenir.

La fermeture est le dual de l'ouverture : la fermeture du complémentaire d'un ensemble est égale au complémentaire de l'ouverture de cet ensemble.

La fermeture et l'ouverture sont des opérations croissantes et idempotentes, deux propriétés qui définissent les filtres morphologiques. La fermeture est extensive (), et l'ouverture est anti-extensive().

Extension aux fonctions[modifier | modifier le code]

Une image à niveaux de gris peut être modélisée comme une fonction de dans . Soit une fonction appartenant à cet ensemble. On a alors :

L'ouverture et la fermeture de fonctions s'obtiennent comme dans le cas ensembliste :

L'ouverture et la fermeture morphologiques constituent déjà des outils intéressants de filtrage d'images. Cependant, ils peuvent modifier le contour des objets, propriété qui peut être malvenue. Les opérateurs par reconstruction et plus généralement les nivellements, introduits plus loin, permettent de pallier cet inconvénient.

Épaississements et amincissements ne sont pas, en général, des opérateurs croissants. Par conséquent, leur application aux fonctions (en pratique, aux images à niveaux de gris) n'est pas triviale. Plusieurs extensions ont été proposées dans la littérature.

Exemple d'utilisation : détection de contours[modifier | modifier le code]

La détection de contours représente une tâche importante en traitement d'images. La morphologie mathématique propose des outils non-linéaires de détection de contours, comme le gradient et le laplacien morphologiques.

Le gradient morphologique, aussi appelé gradient de Beucher du nom de son inventeur, est défini par :

Il correspond, en quelque sorte, à la version morphologique du module du gradient euclidien.

Le laplacien morphologique est construit de façon analogue :

correspond à l'opérateur identité.

Opérateurs connexes, nivellements[modifier | modifier le code]

Segmentation[modifier | modifier le code]

Segmenter une image à niveaux de gris consiste à produire une partition du support de l'image, de façon que les régions de la partition correspondent avec les objets présents dans l'image.

Les filtres morphologiques constituent une aide précieuse dans un processus de segmentation. En particulier, les nivellements permettent de filtrer les images tout en préservant les contours importants, ce qui simplifie l'opération de segmentation proprement dite. Dans certains cas, un filtrage important peut de lui-même produire une partition pertinente. Mais l'outil morphologique le plus connu en segmentation d'images est la ligne de partage des eaux.

Il existe plusieurs algorithmes de segmentation par ligne de partage des eaux. L'idée de base consiste à simuler une inondation de l'image, vue comme un relief topographique où le niveau de gris correspond à l'altitude. Les frontières entre régions de la partition ont alors tendance à se placer sur les lignes de crête. Typiquement, on applique cet opérateur au gradient de l'image (norme du gradient euclidien, ou gradient morphologique) que l'on cherche à segmenter, et par conséquent les frontières se placent de façon privilégiée sur les lignes de gradient élevé.

Plusieurs algorithmes de calcul de ligne de partage des eaux ont une complexité linéaire en fonction du nombre de pixels de l'image, ce qui les place parmi les méthodes de segmentation les plus rapides.

Ensembles aléatoires[modifier | modifier le code]

Quantification : Paramètres de base[modifier | modifier le code]

A l’origine la morphologie mathématique a été conçue pour traiter et analyser des images de matériaux ou images biologiques afin d’en extraire des informations quantifiées sous forme de paramètres ou de fonctions. Ici, on se limitera aux images 2D définies dans l’espace et aux sous-espaces. Dans ce cas l’espace est représenté par une grille de points. Deux cas sont envisagés: la grille carrée (pavage carré) et la grille triangulaire (pavage hexagonal). En ce qui concerne les paramètres, on sait qu’ils peuvent être obtenus à partir de la caractéristique d’Euler-Poincaré ou nombre de connexité des différents espaces, notés pour l’espace .

Les nombres de connexité dans l’espace discret[modifier | modifier le code]

Espace [modifier | modifier le code]

Cet espace correspond au réseau de points associés aux pixels.Sur l’image binaire, est égal au nombre de pixel à 1.

Espace [modifier | modifier le code]

Les droites utilisables dans correspondent à des pixels alignés. Les extrémités de segments de ces droites coupant correspondent (en sortie) à des transitions de pixel de type 1 0. L’image binaire associée est obtenue par une transformation en tout ou rien. D'un point de vue pratique cela revient à vérifier, pour chaque pixel , la configuration de voisinage . Les éléments 1 de la configuration sont relatifs à l’ensemble et ceux à 0 au complémentaire. On aura donc :Pour l'ensemble : Pour la mesure :

Les éléments structurants dans les différents pavages sont :

  • En pavage hexagonal dans la direction 0 : .

(Les autres orientations à 60° et 120° sont obtenues par rotation de la configuration.)

  • En pavage carré dans la direction 0  : .

(Les autres orientations à 45°, 90°, 135° sont obtenues par rotation de la configuration.)

Espace [modifier | modifier le code]

Rappelons que correspond au nombre de composantes connexes diminué du nombre de trous qu’elles contiennent.

  • Pavage triangulaire

Pour déterminer ce nombre avec la maille triangulaire, on utilise la relation d’Euler : En pavage triangulaire s représentant le nombre de sommets (pixels à 1), c le nombre de cotés de type 1-1 (à une rotation près) et f le nombre de triangles ayant les 3 sommets à 1. Un calcul élémentaire sur toutes les combinaisons donne le résultat suivant :Pour les ensembles : et Pour la mesure :

Les éléments structurants dans les différents pavages sont :

et .

  • En pavage carré (8 connexité) on fait le même raisonnement ce qui donne les éléments structurants  :

et .

Les paramètres métriques de base associés[modifier | modifier le code]

Comme pour les nombres de connexité, les paramètres métriques de base doivent vérifier les conditions de Hugo Hadwiger. L’ensemble doit être un ensemble aléatoire stationnaire et constitué d’une union finie de convexes. La mesure doit avoir les propriétés suivantes :

Invariante par translation de  :Compatible avec homothéties (agrandissement ) :C-additive :Continue ou semi continue

Dans :[modifier | modifier le code]

Le paramètre métrique est la longueur totale de l’ensemble notée .Elle se calcule à partir de et la taille du pixel . On a en effet :

Dans  :[modifier | modifier le code]

Ces paramètres métriques sont:

  • L’aire de l’ensemble notée

Elle se calcule à partir de et l’aire du pixel . On a en effet :

  • Le périmètre de l’ensemble noté

Pour obtenir ce périmètre, on va utiliser la relation de Cauchy (géométrie intégrale) qui relie la variation diamétrale d'un ensemble à son périmètre : avec taille du pixel. On notera que l'estimation de ce périmètre à un aspect statistique. Le nombre de connexité doit être estimé dans plusieurs directions.

Vers l'espace [modifier | modifier le code]

La géométrie intégrale permet également d’accéder à des paramètres de en utilisant les nombres de connexité des espaces inférieures.

Ainsi, la surface de la frontière notée est obtenue à partir du nombre de connexité par la relation de Crofton : est la projection de sur le plan perpendiculaire à la direction et l'aire associée à la ligne .

L'intégrale de courbure moyenne est estimée à partir de la variation diamétrale dans notée en utilisant la relation de Meusnier:Cette variation diamétrale est reliée au nombre de connexité dans par la relation :Ce qui donne finalement : représente la distance entre 2 plans.

De l’analyse globale à l’analyse locale (stéréologie)[modifier | modifier le code]

Les images destinées aux études scientifiques sont souvent obtenues à partir d’un microscope dont le champ est plus petit que l’ensemble à analyser. Dans ce cas, on dit que l’analyse est locale par opposition à l’analyse globale où l’ensemble est totalement visible.

Les paramètres globaux précédemment définis doivent être transformés en paramètres locaux ramenés à l’unité d’espace.

Paramètres locaux de l'espace [modifier | modifier le code]

  • L’unique paramètre est la fraction de points :

Paramètres locaux de l'espace [modifier | modifier le code]

  • Fraction linéique :Dans ce contexte statistique, on démontre aisément que l'estimation de la fraction linéique est égale à la fraction de points :
  • Nombre de connexité par unité de longueur:

Paramètres locaux de l'espace [modifier | modifier le code]

  • Fraction surfacique :On a également :
  • Périmètre spécifique :En utilisant la relation de Cauchy, on obtient :
  • Nombre de connexité par unité de surface :

Paramètres locaux de l'espace [modifier | modifier le code]

  • Fraction volumique :Ici encore, on a :
  • Surface spécifique :En utilisant la relation de Crofton, on a :
  • Intégrale de courbure moyenne par unité de volume :L'intégrale de courbure moyenne peut être estimée à partir du nombre de connexité dans selon la relation de Meusnier :
  • Nombre de connexité par unité de volume :Ce paramètre de nature topologique n'est pas accessible à partir des espaces de dimension inférieure.


Notes[modifier | modifier le code]

  1. La dilation est aussi souvent définie en utilisant le symétrique de l'élément structurant : On gagne alors la dualité entre érosion et dilatation, mais on perd l'adjonction. Il faut alors modifier les définitions de l'ouverture et de la fermeture morphologiques en conséquence. Lorsque l'élément structurant est symétrique, cette distinction n'a pas d'importance.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

En français[modifier | modifier le code]

  • Georges Matheron, Éléments pour une théorie des milieux poreux, Masson, Paris, 1967.
  • Michel Schmitt et Juliette Mattioli, Morphologie mathématique, Masson, Paris, 1993, (ISBN 2-225-84385-6) .
  • Laurent Najman et Hugues Talbot (dir.), Morphologie mathématique, 1 : Approches déterministes, Hermès - Lavoisier, Paris, 2008, (ISBN 978-2746218413) .
  • Laurent Najman et Hugues Talbot (dir.), Morphologie mathématique, 2 : Estimation, choix et mise en œuvre, Hermès - Lavoisier, 2010.
  • Jean Marc Chassery, Annick Montanvert, Géométrie discrète en analyse d'images, Hermès, 1991, ISBN 2-86601-271-2 .
  • H. Poincaré Calcul des probabilités. Carré, Paris, 1912.
  • Michel Coster, Jean Louis Chermant, Précis d'analyse d'images, Presse du CNRS, 1989, (ISBN 2-87682-020-X) .
  • Robert T. DeHoff, Frederick N. Rhines, Microscopie Quantitative,(traduit par Jean Montuelle), Masson 1972.

En anglais[modifier | modifier le code]

  • Georges Matheron, Random Sets and Integral Geometry, Wiley, New York, 1975.
  • Georges Matheron, Estimating and Choosing, Springer–Verlag Berlin, Heidelberg, 1989.
  • Jean Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, vol. 1, Academic Press, Londres, 1982, (ISBN 0-12-637242-X) .
  • Jean Serra (dir.), Image Analysis and Mathematical Morphology, vol. 2 : Theoretical Advances, Academic Press, Londres, 1988, (ISBN 0-12-637241-1) .
  • Charles R. Giardina et Edward R. Dougherty, Morphological Methods in Image and Signal Procesing, Prentice-Hall, New Jersey, 1988.
  • H.J.A.M Heijmans, Morphological image operators, Academic Press, coll. "Advances in Electronics and Electron Physics", Boston 1994.
  • Pierre Soille, Morphological image analysis, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1999 (2e édition 2003).
  • Gonzalez R.C., Woods R.E., Digital Image Processing, 3e éd., Prentice Hall, 2008.
  • Goutsias J., Batman S., Morphological Methods for Biomedical Image Analysis, Handbook of Medical Imaging, volume 2 : Medical Image Processing and Analysis, M. Sonka & J.M. Fitzpatrick (eds.), SPIE Optical Engineering Press, 2000, p. 175-272.
  • Laurent Najman and Hugues Talbot (Eds).Mathematical morphology: from theory to applications, ISTE-Wiley, (520 pp.) June 2010, (ISBN 978-1-84821-215-2) .
  • Henri Poincaré, Papers on Topology: Analysis Situs and its Five Supplements,(traduit par John Stillwell), American Mathematical Society, Providence, R. I., 2010, (ISBN 978-0821852347) .
  • E.E. Underwood, Quantitative Stereology, Addison Wesley, 1970.
  • Luis A. Santaló, Integral Geometry and Geometric Probability 2nd édition, Cambridge Mathematical Library, 2004, (ISBN 978-0521523448) .
  • Ewald R. Weibel, Stereological Methods. Vol. 1: Practical methods for biological morphometry , Academic Press, 1979, (ISBN 978-0127422015) .

En Allemand[modifier | modifier le code]

  • Hugo Hadwiger, Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Springer-Verlag, Berlin u. a. 1957, (ISBN 3-540-02151-5) .

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]