Théorème de Descartes-Euler

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Descartes et Théorèmes d'Euler.

Le théorème de Descartes-Euler (ou relation d'Euler), formulé par Leonhard Euler en 1752, énonce une formule mathématique qui relie le nombre de sommets, d'arêtes et de faces dans un polyèdre de genre 0 (c'est-à-dire, intuitivement, un polyèdre « déformable en une sphère ») ; tout polyèdre convexe est de genre 0.

Il semble cependant que Descartes[1] ait prouvé une relation analogue dans un traité jamais publié. C'est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un polyèdre de genre 0, on note :

  •   son nombre de sommets,
  •   son nombre d'arêtes,
  •   son nombre de faces.

Le théorème affirme qu'on a toujours la relation  :

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

On peut procéder à la vérification de la propriété pour les cinq solides platoniciens :

Nom Image S (sommets) A (arêtes) F (faces) Caractéristique d'Euler :
SA + F
Tétraèdre Tetrahedron.svg 4 6 4 2
Hexaèdre ou cube Hexahedron.svg 8 12 6 2
Octaèdre Octahedron.svg 6 12 8 2
Dodécaèdre régulier Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Icosaèdre Icosahedron.svg 12 30 20 2

Si les polyèdres ne sont pas du genre 0, on ne peut pas appliquer le théorème de Descartes-Euler. On peut alors trouver pour SA + F des valeurs différentes de 2 :

Nom Image S (Sommets) A (arêtes) F (faces) Caractéristique d'Euler :
SA + F
Tétrahémihexaèdre Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahémioctaèdre Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohémioctaèdre Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2

Preuve[modifier | modifier le code]

La preuve présentée ici a été donnée par Cauchy en 1811[2].

Soit un polyèdre de genre 0, on va chercher à démontrer que dans celui-ci. On enlève une face à notre polyèdre. En écartant vers l'extérieur les côtés de cette face manquante, on déforme le polyèdre en l'aplatissant et on obtient alors un graphe plan dont les nœuds sont les sommets et les arcs sont les arêtes déformées. Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces n'a pas changé par rapport au polyèdre de départ (considérant que tout l'extérieur de notre graphe représente la face enlevée).

Premières étapes de la démonstration pour le cube

Maintenant, à chaque fois qu'on voit une face ayant plus de trois côtés, on trace une diagonale (c’est-à-dire un segment joignant deux sommets non directement reliés). Cette opération ajoute une face et une arête à notre graphe et ne modifie pas le nombre de sommets, donc l'expression reste inchangée. On répète cette opération jusqu'à ne plus avoir que des faces triangulaires.

Arrivé à ce stade, on répète les deux opérations suivantes :

  1. On supprime un à un tous les triangles qui comportent un seul côté aux frontières extérieures de notre graphe. À chaque suppression, on enlève une arête et une face (pas de modification au niveau des sommets). Cela conserve donc l'expression .
  2. On supprime un à un tous les triangles qui comportent deux arêtes aux frontières extérieures de notre graphe. À chaque suppression, on enlève un sommet, deux arêtes et une face. Cela conserve donc à nouveau l'expression .

En répétant les deux étapes précédentes, l'une après l'autre, il ne finit par rester qu'un seul triangle. Ce triangle seul compte deux faces (l'intérieur et l'extérieur du triangle), trois arêtes et trois sommets. Ainsi , , et , donc est égale à 2. Cette expression est égale à l'expression d'origine car chaque étape maintenait l'égalité de cette expression. On en conclut que notre polyèdre de départ vérifiait l'expression [3]. La relation est donc prouvée.

Lien avec les pavages de la sphère[modifier | modifier le code]

On peut ramener cette relation à une propriété de pavage de la sphère, en utilisant la technique imagée suivante

  • placer une source de lumière au centre de gravité G du polyèdre
  • considérer une sphère de centre G et de rayon suffisamment grand, et la considérer comme un écran sur lequel se projettent les ombres des arêtes du polyèdre.

Cette opération est en fait une projection centrale. On obtient alors sur la sphère des « sommets », images des sommets du polyèdre, des « arêtes » qui sont des arcs de grands cercles, et des portions de sphères délimitées par les arêtes qui sont des « polygones sphériques ». On peut qualifier cette configuration de polyèdre sphérique (en).

On montre encore que pour un tel pavage, la formule est vérifiée. Une des méthodes possibles est d'utiliser des propriétés des triangles sphériques.

Applications[modifier | modifier le code]

  • Il est impossible de recouvrir une sphère seulement par des hexagones, même non réguliers, afin de former une géode, car un tel recouvrement ne respecterait pas la relation d'Euler. En effet, dans un polyèdre à faces uniquement hexagonales, chaque sommet est commun à 3 faces et chaque arête à 2 faces. Comme tout hexagone a 6 côtés et 6 sommets, un tel polyèdre doit donc comporter plus de sommets que de faces et plus d'arêtes que de faces. Donc, si f est le nombre de faces, le nombre d'arêtes a doit être égal à 3f et le nombre de sommets s à 2f. On a alors :

et la relation d'Euler n'est pas vérifiée.

Par contre, remplaçons certains hexagones de ce recouvrement impossible par des pentagones. Si le nombre de faces ne varie pas, le nombre d'arêtes et de sommets diminue : pour chaque pentagone ajouté, on a ( 6 - 5 ) ÷ 2 arêtes, c'est-à-dire une demi-arête en moins et (6 - 5) ÷ 3 sommets, c'est-à-dire un tiers de sommet en moins;     augmente donc à chaque fois de la différence, c'est-à-dire d'un sixième. Pour que la relation d'Euler soit respectée, il faut que     initialement à 0, devienne égal à 2, donc augmente de 12 ÷ 6. Bref, il faut remplacer 12 hexagones par autant de pentagones. Le nombre des sommets s est alors de 2f - 4 et celui des arêtes a de 3f - 6. C'est ainsi que l'on rencontre l'icosaèdre tronqué (ballon de football ou fullerène ). Un cas extrême est celui du dodécaèdre régulier ( f = 12 ), où il ne reste plus aucun hexagone. Dans la figure ci-dessous (où f = 344 faces), quatre des douze pentagones sont visibles.

géode duale

La version de Descartes[modifier | modifier le code]

Dans son mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :

« L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2. »

L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est pourtant rigoureusement équivalente, et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.

Preuve de l'équivalence :

Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut droits.
La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc droits (en effet la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
L'égalité de Descartes s'écrit donc
autrement dit

Généralisations[modifier | modifier le code]

Henri Poincaré, en 1893[4], a démontré que la relation d'Euler se généralisait à tout n-polytope convexe :

n est la dimension du polytope et le nombre de k-simplexes du n-polytope ( est le nombre de sommets, le nombre d'arêtes, le nombre de faces, etc.).

La quantité , si elle vaut 2 dans le cas des polyèdres de genre 0, peut prendre d'autres valeurs suivant la nature du polyèdre et est appelée caractéristique d'Euler (ou d'Euler-Poincaré) du solide. Cette caractéristique est un nombre qu'on peut attacher naturellement aux surfaces. Elle est par exemple de 2 pour la sphère. Il s'agit d'un invariant topologique, c'est-à-dire que toutes les variétés homéomorphes à la sphère ont la même caractéristique. La convexité n'est finalement qu'une hypothèse particulière assurant qu'il existe bien un tel homéomorphisme.

Réflexion sur l'élaboration de ce théorème[modifier | modifier le code]

Ce théorème, et plus précisément la réflexion sur quels sont les polyèdres qui satisfont l'égalité s - a + f = 2, est l'exemple pris tout au long de l'ouvrage Preuves et Réfutations (en) : essai sur la logique de la découverte mathématique de l'épistémologue Imre Lakatos, y exposant par ce biais son heuristique (en) mathématique.

Ce livre ne se veut pas un ouvrage historique sur les conditions réelles de la découverte de ce théorème mais expose comment une classe d'élèves idéaux, animée par un professeur, pourrait par essais-erreurs et discussion collective arriver à formuler ce théorème tout en observant que certains polyèdres ne satisfont pas la relation.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Ernest de Jonquières, « Note sur un Mémoire de Descartes longtemps inédit, et sur les titres de son auteur à la priorité d'une découverte dans la théorie des polyèdre  », C.R. Hebd. Seances Acad. Sci., vol. 110,‎ , p. 261-266 (lire en ligne).
  2. Ce n'est pas la première preuve (presque) rigoureuse : cf. (en) Jeff Erickson, « Computational Topology, chap. 2: Planar Graphs, § Some Muddled History »,‎ , p. 19-20.
  3. « Journal de l'École polytechnique, vol. 9, cahier 16, démonstration p. 77-81 », sur Google Livres.
  4. H. Poincaré, « Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres », C. R. Hebd. Seances Acad. Sci., vol. 117, 1893, p. 144-145.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Jean-François Dufourd, « Polyhedra genus theorem and Euler formula: A hypermap-formalized intuitionistic proof », TCS, vol. 403, no 2-3,‎ , p. 133-159 (DOI 10.1016/j.tcs.2008.02.012)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) David Eppstein, « Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2 », sur The Geometry Junkyard