Ligne polygonale

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En mathématiques, une ligne polygonale, ou ligne brisée est une figure géométrique formée d'une suite de segments, la seconde extrémité de chacun d'entre eux étant la première du suivant. On peut considérer une telle ligne dans un espace de dimension autre que deux. Un polygone est une ligne polygonale fermée.

La ligne polygonale est appelée « polyligne » dans les logiciels professionnels de dessin, traduit de l'anglais « polyline ».

Définition[modifier | modifier le code]

Soient A_1, A_2, A_3, ..., A_n, n points du plan affine euclidien usuel, ou d'un espace affine plus général.

On appelle alors ligne polygonale la figure notée « A_1 A_2 A_3 ... A_n » et constituée par la suite des n-1 segments [A_1 A_2], [A_2 A_3],  ..., [A_{n-1} A_n]. Les points A_i sont appelés les sommets successifs de la ligne polygonale.

La ligne polygonale est dite fermée si A_1 = A_n (on parle alors de polygone). Elle est dite simple si les segments ne se coupent pas.

Longueur[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes, si l'espace est muni d'une norme, on peut définir la longueur de la ligne polygonale par

L=\sum_{i=1}^{n-1}A_iA_{i+1}.

Par application de l'inégalité triangulaire, cette longueur est soit égale soit supérieure à la distance A_1 A_n.

  • dans un espace euclidien, l'inégalité triangulaire (qui n'est autre que l'inégalité de Minkowski) ne devient égalité que quand les points sont tous alignés, et même rangés dans l'ordre des indices sur une même droite. Dans ce cas parcourir la ligne polygonale revient à aller en ligne droite de A_1 à A_n.

On résume cela en disant que « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » (parmi les lignes brisées).

  • dans un espace vectoriel normé général, la ligne droite est bien un plus court chemin, mais a priori parmi plusieurs autres.

Le concept de longueur d'une ligne polygonale sert de fondement à la définition générale de la longueur d'un arc de courbe, et permet de prouver que la formule « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » est vraie pour une plus grande classe de « chemins ».

Usages[modifier | modifier le code]

La notion d'objet "polyligne" est utilisée en géomatique.

Une polyligne est également un objet fréquemment utilisé dans les logiciels de DAO, comme AutoCAD.

Notes et références[modifier | modifier le code]