Chemin (topologie)

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Points parcourus par un chemin de A à B dans R². Cependant, différents chemins peuvent parcourir le même ensemble de points.

En mathématiques, un chemin dans un espace topologique X est une application continue f de l'intervalle unité I = [0,1] dans X

f : IX.

Le point initial du chemin est f(0) et le point final est f(1). On parle souvent de « chemin reliant x à y » où x et y sont les points initiaux et finaux du chemin. Il faut noter qu'un chemin n'est pas seulement un sous-ensemble de X qui "ressemble" à une courbe, mais comprend également un paramétrage. Par exemple, les applications f(x) = x et g(x) = x2 représentent deux chemins différents de 0 à 1 sur la droite réelle R.

Un lacet dans un espace X basé au point xX est un chemin de x à x. Un lacet peut également être vu comme une application f : IX avec f(0) = f(1) ou comme une application continue du cercle unité S1 dans X

f : S1X.

C'est parce que S1 peut être regardé comme le quotient de I en identifiant 0 ∼ 1. L'ensemble de tous les lacets dans X est appelé l'espace des lacets de X.

Un espace topologique dans lequel deux points quelconques sont toujours reliés par un chemin est dit connexe par arcs. Tout espace peut être décomposé en un ensemble de composantes connexes par arcs. L'ensemble des composantes connexes par arcs d'un espace X est souvent noté π0(X).

Homotopie des chemins[modifier | modifier le code]

Article principal : Homotopie.
Une homotopie entre deux chemins.

Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. Une homotopie de chemins rend précise la notion de déformation continue d'un chemin en laissant fixes les extrémités.

Plus précisément, une homotopie de chemins dans X est une famille de chemins ft : IX indexée par I telle que

  • ft(0) = x0 et ft(1) = x1 sont fixés.
  • l'application F : I × IX définie par F(s, t) = ft(s) est continue.

Les chemins f0 et f1 reliés par une homotopie sont dits homotopes. On peut également définir une homotopie de lacets laissant le point de base fixe.

La relation d'homotopie est une relation d'équivalence entre les chemins dans un espace topologique. La classe d'équivalence du chemin f pour cette relation est appelée la classe d'homotopie de f, et est souvent notée [f].

Composition des chemins[modifier | modifier le code]

On peut composer des chemins dans un espace topologique d'une manière évidente. Soient f un chemin de x à y et g un chemin de y à z. Le chemin fg est défini comme le chemin obtenu en parcourant d'abord f et puis en parcourant g : Évidemment, la composition des chemins est seulement définie lorsque le point final de f coïncide avec le point initial de g. Elle n'est pas associative, à cause des différences dans la paramétrisation. Cependant, elle est associative à homotopie près, c'est-à-dire que [(fg)h] = [f(gh)] (lorsque ces composés sont définis, c'est-à-dire lorsque le point final de f est égal au point initial de g et le point final de g au point initial de h). Les classes d'homotopie de chemins dans X forment ainsi un groupoïde, appelé le groupoïde de Poincaré de X et noté π(X).

Pour tout point x0 de X, le sous-groupoïde des classes d'homotopie de lacets basés en x0 est donc un groupe, appelé le groupe fondamental de X au point x0 et noté π1(X,x0).

Chemins dans un espace vectoriel normé[modifier | modifier le code]

Dans le cas où l'espace ambiant E est un e.v.n. (espace vectoriel normé) ou un espace affine associé à un e.v.n., on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

  • Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire pour tout . Le vecteur est appelé vecteur directeur de . Le « support » du chemin (c.-à-d. son image) est alors un segment de droite.
  • Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
  • Chemins de classe  : un chemin peut être de classe avec . En fait tout chemin est de classe c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe avec sera dit de plus régulier si pour tout . Un chemin régulier de classe est dit chemin lisse.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Path (topology) » (voir la liste des auteurs).