Invariant cohomologique

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En mathématiques, un invariant cohomologique d'un groupe algébrique $G$ sur un corps est un invariant des formes de $G$ à valeurs dans un groupe de cohomologie galoisienne.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit $G$ un groupe algébrique défini sur un corps $K$ . On choisit un corps séparablement clos $K$ contenant $K$ . Pour une extension finie $L$ de $K$ dans $K$ soit $Γ L$ le groupe de Galois absolu de $L$ . Le premier groupe de cohomologie $H^{1}(L,G)=H^{1}(\Gamma _{L},G)$ est un ensemble qui classe les $G$ -torseurs sur $L$ ; il est fonctoriel en $L$ .

Un invariant cohomologique de $G$ de dimension $d$ à valeurs dans un $Γ K$ -module $M$ est une transformation naturelle des foncteurs (par rapport à $L$ ) de $H^{1}(L,G)$ vers $H^{d}(L,M)$ .

Autrement dit, un invariant cohomologique associe de façon naturelle un élément d'un groupe de cohomologie abélienne à un élément d'un ensemble de cohomologie non abélienne.

Plus généralement, si $A$ est un foncteur quelconque des extensions finies d'un corps vers les ensembles, alors un invariant cohomologique de $A$ de dimension $d$ à valeurs dans un $Γ$ -module $M$ est une transformation naturelle de foncteurs (de $L$ ) de $A$ vers $H^{d}(L,M)$ .

Étant donné un groupe $G$ ou un foncteur $A$ , une dimension $d$ et un module galoisien $M$ , les invariants cohomologiques forment un groupe abélien noté $\operatorname {Inv} ^{d}(G,M)$ ou $\operatorname {Inv} ^{d}(A,M)$ .

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit $A$ le foncteur qui envoie un corps vers l'ensemble des classes d'isomorphisme d'algèbres de dimension $n$ qui sont étales sur ce corps. Les invariants cohomologiques à coefficients dans ℤ/2ℤ forment un module libre sur la cohomologie de $k$ ayant pour base des éléments de degrés 0, 1, 2,..., $m$ où $m$ est la partie entière de $n$ /2.
L'invariant de Hasse-Witt (en) d'une forme quadratique est essentiellement un invariant cohomologique de dimension 2 du groupe spinoriel correspondant, à valeurs dans un groupe d'ordre 2.
Si $G$ est un quotient d'un groupe par un sous-groupe central fini lisse $C$ , alors l'application de bord de la suite exacte correspondante donne un invariant cohomologique de dimension 2 à valeurs dans $C$ . Si $G$ est un groupe spécial orthogonal et si le recouvrement est le groupe spinoriel alors l'invariant correspondant est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt.
Si $G$ est le groupe orthogonal d'une forme quadratique en caractéristique différente de 2, on dispose de classes de Stiefel-Whitney pour chaque dimension positive, qui sont des invariants cohomologiques à valeurs dans ℤ/2ℤ. (Ce ne sont pas les classes topologiques de Stiefel-Whitney d'un fibré vectoriel réel mais ce sont leurs analogues pour les fibrés vectoriels sur un schéma.) En dimension 1 c'est essentiellement le discriminant et en dimension 2 c'est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt.
L'invariant d'Arason (en) $e 3$ est un invariant de dimension 3 de certaines formes quadratiques paires $q$ ayant un discriminant trivial et un invariant de Hasse-Witt trivial. Il est à valeurs dans ℤ/2ℤ. Il peut être utilisé pour construire un invariant cohomologique de dimension 3 du groupe spinoriel correspondant comme suit. Si $u$ est dans $H^{1}(K,\operatorname {Spin} (q))$ et $p$ est la forme quadratique correspondant à l'image de $u$ dans $H^{1}(K,O(q))$ , alors $e 3 (p-q)$ est la valeur de l'invariant cohomologique de dimension 3 sur $u$ .
L'invariant de Merkurjev-Suslin (en) est un invariant de dimension 3 d'un groupe linéaire particulier d'une algèbre centrale simple de rang $n$ , à valeurs dans le carré tensoriel du groupe des racines $n$ -ièmes de l'unité. Lorsque $n$ = 2, il s'agit essentiellement de l'invariant d'Arason.
Pour des groupes simplement connexes absolument simples $G$ , l'invariant de Rost (en) est un invariant de dimension 3 à valeurs dans ℚ/ℤ(2) qui généralise en quelque sorte l'invariant d'Arason et l'invariant de Merkurjev-Suslin à des groupes plus généraux.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohomological invariant » (voir la liste des auteurs).

Skip Garibaldi, Alexander Merkurjev et Jean-Pierre Serre, Cohomological invariants in Galois cohomology, vol. 28, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series », 2003 (ISBN 0-8218-3287-5, MR 1999383)
Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The book of involutions, vol. 44, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Colloquium Publications », 1998 (ISBN 0-8218-0904-0, zbMATH 0955.16001)
Jean-Pierre Serre, « Cohomologie galoisienne : progrès et problèmes », Astérisque (collection Séminaire Bourbaki, 1993-1994, exposé n^o 783), Société mathématique de France, vol. 227,‎ 1995, p. 229-257 (MR 1321649, lire en ligne)