Formule de Liouville

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En mathématique, la formule (ou théorème) de Liouville ou Jacobi-Liouville[1] donne l'expression du wronskien d'un système d'équations différentiel ordinaire du premier ordre , i.e. le déterminant d'une famille de solutions.

La formule est nommée d'après le mathématicien français Joseph Liouville.

Énoncé du thèorème[modifier | modifier le code]

Soit un intervalle et une fonction de I vers les matrices carrées de dimension n. On considère le système d'équations différentielles homogènes du 1er ordre

où l'inconnue est une fonction de I à valeurs vectorielle. Si on a n solutions de (1), on peut considérer la "solution matricielles" Φ dont la ième colonne est pour . Elle satisfait naturellement la même équation

Le wronskien est le déterminant de cette matrice, i.e.

Si la trace est une fonction continue de t alors

De manière équivalente, si on introduit l'application résolvante qui envoie la valeur d'une solutions au temps t0 à sa valeur au temps t, i.e. solution de (1), on obtient

Applications[modifier | modifier le code]

Lorsque l'on a déja n-1 solutions linéairement indépendantes de (1), on peut alors utiliser le wronskien pour déterminer une nième solution linéairement indépendante des n-1 premières:

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Robert Roussarie, Jean Roux, Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I, EDP Science, (ISBN 978-2-7598-0512-9), p. 97
  2. ex: le seul coefficient de la colonne 3 dans un produit est et le seul coefficient de la ligne 2 est est l'unique antécédent de 2 par la permutation .