Formule de Liouville

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En mathématique, la formule (ou théorème) de Liouville ou Jacobi-Liouville[1] donne l'expression du wronskien d'un système d'équations différentielles linéaires du premier ordre , c.-à-d. le déterminant d'une famille de solutions.

La formule est nommée d'après le mathématicien français Joseph Liouville.

Énoncé du thèorème[modifier | modifier le code]

Soit un intervalle réel et une fonction de vers les matrices carrées de dimension n. On considère le système d'équations différentielles homogènes du premier ordre

où l'inconnue est une fonction de à valeurs vectorielles. Si l'on a n solutions de (1), on peut considérer la « solution matricielle » Φ dont la i-ème colonne est pour . Elle satisfait naturellement la même équation

Le wronskien est le déterminant de cette matrice, c.-à-d. .

Si la trace est une fonction continue de t alors

De manière équivalente, si l'on introduit l'application résolvante qui envoie la valeur d'une solution au temps t0 à sa valeur au temps t, c.-à-d. solution de (1), on obtient

Applications[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on a déjà n – 1 solutions linéairement indépendantes de (1), on peut utiliser le wronskien pour déterminer une n-ième solution linéairement indépendante des n – 1 premières.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Robert Roussarie et Jean Roux, Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I, EDP Sciences, (ISBN 978-2-7598-0512-9), p. 97.
  2. Par exemple, le seul coefficient de la colonne 3 dans un produit est et le seul coefficient de la ligne 2 est est l'unique antécédent de 2 par la permutation .