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La fonction signe, ou signum en latin, souvent représentée sgn dans les expressions, est une fonctionmathématique qui extrait le signe d'un nombre réel, c'est-à-dire que l'image d'un nombre par cette application est 1 si le nombre est strictement positif, 0 si le nombre est nul, et -1 si le nombre est strictement négatif :
Notation alternative
La fonction signe peut également s’écrire :
On peut aussi la construire en résultat d'une limite, notamment en jouant avec les propriétés de certaines fonctions hyperboliques.
En prenant (symétrique sur l'axe y) comme fonction de substitution pour , annulant sa propriété de croissance exponentielle en multipliant son inverse par et retranchant au résultat on obtient une fonction similaire à la fonction signe, passant par (figure ci à droite).
De façon analogue on peut déduire des relations similaires avec . Ces définitions de la fonction signe sont intéressantes car elles ne posent pas de condition sur la valeur de .
Propriétés
Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa valeur absolue et de son signe :