Figure isotoxale

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En géométrie, un polytope (un polygone, un polyèdre ou un pavage, par exemple) est isotoxal si son groupe de symétrie agit transitivement sur ses côtés. Informellement, cela veut dire qu'il y a un seul type de côté dans cet objet : pour deux côtés de l'objet, il y a une translation, une rotation et/ou une réflexion qui transforme un côté en l'autre, tout en laissant la région occupée par l'objet inchangée. Le terme isotoxal est dérivé du Grec τοξον qui veut dire arc.

Polygone isotoxal[modifier | modifier le code]

Un polygone isotoxal est un polygone équilatéral mais les polygones équilatéraux ne sont pas tous isotoxaux. En général, un 2n-gone isotoxal a une symétrie diédrale Dn (*nn) . Un losange est un polygone isotoxal avec une symétrie D2 (*22).

Tous les polygones réguliers (triangle équilatéral, carré, etc.) sont isotoxaux, en ayant le double de l'ordre de symétrie minimale : un n-gone régulier a une symétrie diédrale Dn (*nn) . Un carré a une symétrie diédrale D4 (*44).

Exemple de polygones isotoxaux
Symétrie

diédrale

D2 (*22) D3 (*33) D4 (*44) D5 (*55)
Nom losange Triangle équilatéral Hexagone concave Hexagramme Carré Octogone convexe Pentagone régulier Pentagramme Décagramme
Image Lozenge - black simple.svg Regular triangle.svg Medial triambic icosahedron face.png Great triambic icosahedron face.png Kvadrato.svg Isotoxal octagon.png Pentagon.svg Pentagram green.svg Isotoxal pentagram.png

Les polygones isotoxaux sont les duaux des polygones isogonaux.

Polyèdres isotoxaux et pavages[modifier | modifier le code]

Le pavage rhombique (en) est un pavage isotoxal avec une symétrie p6m (*632).

Un polyèdre ou un pavage isotoxal doit être soit isogonal soit isoédral (mêmes faces) ou les deux.

Un polyèdre régulier est isoédral, isogonal et isotoxal. Les polyèdres quasi réguliers sont isogonaux et isotoxaux, mais pas isoédraux ; leur duaux sont isoédraux et isotoxaux mais pas isogonaux.

Les polyèdres ou les pavages bidimensionnels construits à partir d'un polygone régulier ne sont pas forcément isotoxaux. Par exemple, l'icosaèdre tronqué a deux types de côtés : hexagone-hexagone et hexagone-pentagone, et il n'est pas possible pour une symétrie de solide de transformer un côté hexagone-hexagone en un côté hexagone-pentagone.

Un polyèdre isotoxal possède le même angle dièdre pour tous ses côtés. Il y a neuf polyèdres isotoxaux convexes formés par les solides de Platon, 8 par les solides de Kepler-Poinsot, et six comme polyèdre étoilé quasi-regulier (3 | p q) et leur dual.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, (ISBN 0-521-55432-2), p. 371 Transitivity
  • (en) Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C., Tilings and Patterns, New York, W. H. Freeman, (ISBN 0-7167-1193-1) (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)