Polyèdre quasi régulier

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Un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers, qui est transitif sur ses sommets, et qui est transitif sur ses arêtes, est dit quasi régulier.

Un polyèdre quasi régulier peut avoir des faces de deux sortes seulement, et celles-ci doivent alterner autour de chaque sommet.

Pour certains polyèdres quasi réguliers : on utilise un symbole de Schläfli vertical pour représenter le polyèdre quasi régulier combinant les faces du polyèdre régulier {p,q} et celles du dual régulier {q,p} : leur noyau commun. Un polyèdre quasi régulier avec ce symbole a une configuration de sommet p.q.p.q.

Les polyèdres quasi réguliers convexes[modifier | modifier le code]

Il existe trois polyèdres quasi réguliers convexes :

  1. L'octaèdre , configuration de sommet 3.3.3.3 ; c'est aussi un polyèdre régulier.
  2. Le cuboctaèdre , configuration de sommet 3.4.3.4.
  3. L'icosidodécaèdre , configuration de sommet 3.5.3.5.

Chacun d'entre eux forme le noyau commun d'une paire duale de polyèdres réguliers. Les noms des deux derniers listés donnent des indices pour la paire duale associée : respectivement cube ^ octaèdre, et icosaèdre ^ dodécaèdre. L'octaèdre est le noyau commun d'une paire duale de tétraèdres (un arrangement connu sous le nom d'octangle étoilé). Lorsqu'il est dérivé de cette manière, l'octaèdre est quelquefois appelé le tétratétraèdre, comme tétraèdre ^ tétraèdre.

Les duaux quasi réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.

Régulier Dual régulier Noyau commun quasi régulier Dual quasi régulier
Tétraèdre
Tétraèdre
{3,3}
Tétraèdre
Tétraèdre
{3,3}
Octaèdre
Tétratétraèdre
3.3.3.3
Cube
Cube
3.3.3.3
Cube
Cube
{4,3}
Octaèdre
Octaèdre
{3,4}
Cuboctaèdre
Cuboctaèdre
3.4.3.4
Dodécaèdre rhombique
Dodécaèdre rhombique
4.3.4.3
Dodécaèdre
Dodécaèdre
{5,3}
Icosaèdre
Icosaèdre
{3,5}
Icosidodécaèdre
Icosidodécaèdre
3.5.3.5
Triacontaèdre rhombique
Triacontaèdre rhombique
5.3.5.3

Chacun de ces polyèdres quasi réguliers peut être construit par une opération de rectification sur l'un ou l'autre de ses parents réguliers, en tronquant pleinement les sommets, jusqu'à ce que chaque arête originale soit réduite à son milieu.

Exemples non-convexes[modifier | modifier le code]

Coxeter, H.S.M. et al. (1954) ont classé aussi certains polyèdres étoilés, ayant les mêmes caractéristiques, comme quasi réguliers.

Régulier Dual régulier Noyau commun quasi régulier
Grand icosaèdre
Grand icosaèdre
Grand dodécaèdre étoilé
Grand dodécaèdre étoilé
Grand icosidodécaèdre
Grand icosidodécaèdre
Grand dodécaèdre
Grand dodécaèdre
Petit dodécaèdre étoilé
Petit dodécaèdre étoilé
Dodécadodécaèdre
Dodécadodécaèdre
Dodécadodécaèdre ditrigonal Petit icosidodécaèdre ditrigonal Grand icosidodécaèdre ditrigonal
Dodécadodécaèdre ditrigonal Petit icosidodécaèdre ditrigonal Grand icosidodécaèdre ditrigonal

Duaux quasi réguliers[modifier | modifier le code]

Certaines autorités font remarquer que, puisque les duaux des solides quasi réguliers partagent les mêmes symétries, ces duaux doivent être aussi quasi réguliers. Mais tout le monde n'accepte pas ce point de vue. Ces duaux sont transitifs sur leurs faces, et sont transitifs sur leurs arêtes. Ils sont, en ordre correspondant à ci-dessus :

Les duaux quasi réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Coxeter, H.S.M. Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401-450.
  • Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).