Discussion:Théorème de Bachet-Bézout

Bézout ou Bezout ?

Le mathématicien en question s'appelle-t-il Étienne Bezout ou Étienne Bézout ? Ma prof de maths, quand on a parlé de ce théorème, a dit qu'elle disait Bezout mais que normalement c'était Bézout; et l'article sur en: s'intitule aussi en:Bézout's identity avec un lien vers en:Étienne Bézout. C'est également cette orthographe qu'on trouve dans le Rouse History of Mathematics. Je penche plutôt pour cette solution; qu'en pensez-vous ? MagicTom 6 déc 2003 à 10:44 (CET)

On trouve les deux selon les ouvrages. Il n'y pas de réponse dans l'absolu, car à l'époque où vivait Étienne Bézout l'orthographe des noms était loin d'être fixée, surtout pour les accents. Personnellement je préfère avec accent, mais je n'ai pas de justification particulière. Vargenau 6 déc 2003 à 11:59 (CET)

La page ouèbe du lycée Bézout de Nemours (où il est né) http://www.ac-creteil.fr/lycees/77/ebezoutnemours/ dit Bézout et Bezout. ℓisllk 6 déc 2003 à 12:33 (CET)

Si les deux existe, il faudrait l'écrire comme on le prononce. Le problème, c'est qu'ayant tellement souvent lu Bezout, je prononce /bəzu/, sûrement à tort. Quand la prononciation influence l'orthographe et l'orthographe la prononciation, on ne s'en sort plus ! Bon, si des gens ont jugé bon de préciser un accent à une certaine époque, j'imagine que la bonne prononciation est /bezu/. Qu'en pensez vous ?--Ąļḋøø 25 aoû 2004 à 13:30 (CEST)

À titre purement indicatif, le Grand Larousse encyclopédique (tome 2, 1960) et le Petit Robert donnent Bézout. Ceci dit, je serais prêt à parier que l'acte de baptême en 1730 ne comportait aucun accent. Il faut quand même savoir que, dans le Gâtinais tout au moins, les "e" de ce genre ne se prononçaient ni "eu" ni "é" mais à mi-chemin des deux. L'ajout de l'accent est au moins de la deuxième moitié du XVIIIe siècle. À l'écrit, toujours dans la région, les gens réservaient jusque-là les accents aigus aux finales (participes passés, etc. Si l'on était aujourd'hui logique, on prononcerait toujours Bézout, mais « sans insister lourdement » sur le "é", juste de manière à le différencier du "e" actuel. Je pense que Bézout, s'il s'agit de la graphie la plus fréquente, serait à adopter, mais en plaçant un redirect dans Identité de Bezout, Théorème de Bezout et Étienne Bezout, s'ils n'existent pas déjà. Dernière remarque : ce nom est très voisin d'un autre nom gâtinais qui s'est transmis sous la forme Bezault, que la plupart des gens prononcent maintenant sans accent (mais que l'on entend encore avec un « demi-accent » dans la bouche de quelques personnes très âgées). Ma'ame Michu | Discuter 25 aoû 2004 à 13:50 (CEST)

J'ajouterai qu'il faut se méfier des orhographes données dans les encyclopédies anglo-saxonnes.Claudeh5 21 juin 2006 à 09:44 (CEST)

D'autant que les traités publiés à son époque ou peu après portent "Bezout" sans accent (alors qu'il y en a dans le reste du titre. Voir par exemple sur Gallica.bnf.fr le traité de Bezout & Reynaud "Traité d'arithmétique à l'usage de la marine et de l'artillerie avec notes" 9e édition, daté de 1821.Claudeh5 21 juin 2006 à 10:15 (CEST)

Fusion avec Théorème de Bézout et Lemme de Bézout

Il faut fusionner cette page avec Théorème de Bézout et Lemme de Bézout. La page sur le théorème de Bézout devrait discuter du théorème sur les courbes algébriques. La page sur le lemme de Bézout devrait rediriger vers cette page. Je pense que c'est le mieux, c'est à peu près comme ça que fonctionne la wikipédie anglophone.

Je suis géné par l'appellation «théorème de Bachet de Méziriac» à propos du théorème sur l'identité de Bezout. J'ai Bac+5 en maths, et je n'ai jamais entendu ce nom là. Je crois que ce théorème est le plus fréquemment appelé théorème de Bézout, de la même façon que l'autre sur les courbes algébriques. Comment faire pour les distinguer ? Il y a aussi l'appellation «lemme de Bézout», mais je l'ai vue utilisée pour les deux, ça n'aide pas. Je pense qu'il vaut mieux appeler les deux des théorèmes de Bezout, en précisant à chaque fois si on est en arithmétique ou en géométrie algébrique. On peut mettre des phrases en entêtes des pages Théorème de Bézout et Identité de Bézout pour lever l'ambiguité et mettre un lien vers l'autre. On peut rajouter une note sur l'appellation «théorème de Bachet de Méziriac», mais, à mon avis, seulement une note (comme dans la wikipédie anglophone). --Bernard Helmstetter 20 déc 2004 à 21:14 (CET)

J'ai réalisé la fusion. J'ai gardé le nom de Bachet de Méziriac, finalement. --Bernard Helmstetter 25 déc 2004 à 03:32 (CET)

Ce théorème est effectivement enseigné sous le nom de "théorème de Bézout" mais selon la probité de l'enseignant, ce dernier ajoutera (ou non) "dû à Bachet"... --Erwan Drézen 29 déc 2004 à 13:16 (CET)

Ce théorème n'est pas de Bezout mais bien de Bachet de Meziriac dans "problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres" édité à Lyon en 1612. Ce n'est que parce que Bezout l'énonce dans son cours de 1780, qui a un succès certain, que le théorème commence a porter son nom.Claudeh5 21 juin 2006 à 09:57 (CEST)

Equivalence et démonstration + simple

A l'issu d'un exo de maths récemment, je me suis posé la question de la réciprocité de l'identité de Bezout. J'ai dc ressorti mon cours de math qui indique bien une équivalence et non pas une implication comme le sous-entend le discours en fr de l'article (et comme je l'imaginais).
De plus, j'ai remarqué que la démo de mon cours de math m'apparaissait bcp plus simple que celle donnée ds l'article.
On peut définir de manière très simple le PPCM et le PGCD de la manière suivante : d=PGCD de a et b ; p=PPCM de a et b on a alors :
$a\mathbb {Z} +b\mathbb {Z} =d\mathbb {Z}$ et $a\mathbb {Z} \cap b\mathbb {Z} =p\mathbb {Z}$ (on remarque que cette définition ne pose pas de pb car l'unicité de d et p se vérifie clairement).
La démonstration s'écrit alors tout simplement : $a\land b=1$ équivaut à $a\mathbb {Z} +b\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ équivaut à $1\in a\mathbb {Z} +b\mathbb {Z}$
Evidemment, ds le cas ou le PGCD de a et de b est différent de 1, il suffit de multiplier l'égalité par le PGCD pr retomber tt simplement sur l'égalité "générale".
ludo

Définir un pgcd de a et b comme un générateur de aA+bA est effectivement la solution prise dans tout anneau principal A. Dans le cadre de l'arithmétique , il est pourtant nécessaire de montrer que cette définition coïncide bien avec la définition traditionnelle du Plus Grand Commun Diviseur. La démonstration est donc nécessaire.

L'unicité est un problème à traiter : en effet 2Z = (-2)Z. En arithmétique, la tradition permet de gérer l'unicité du pgcd en prenant le générateur positif. Dans l'anneau des polynômes à coefficients dans R , on parlera d'un pgcd connu à un facteur multiplicatif près.

Quant à l'équivalence, elle est vraie uniquement dans le cas où d=1.

En résumé

Pgcd(a,b)=1 si et seulement si il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1

Si pgcd (a,b) = d alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d

S'il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d alors d est un multiple du pgcd(a,b) (il n'y a pas nécessairement une égalité).

Comme quoi, il y a plus à dire sur cette identité de Bézout que ce qui est actuellement dans l'article. ;-). HB 17 juin 2007 à 10:00 (CEST)

Pour être plus précis encore dans la réponse :

Dans n'importe quel anneau A, on peut définir le pgcd de a et de b comme un générateur de $aA+bA$. S'il existe, il est unique à multiplication près par un inversible. L'existence est immédiate dans les anneaux principaux, car par définition tout idéal est principal.

L'identité de Bézout dit non seulement que le pgcd est toujours défini dans tout anneau euclidien, mais de plus qu'il correspond à la définition intuitive qu'on en a. La seule partie "difficile" de la preuve est d'écrire 1 comme sommes et différences de deux entiers premiers entre eux.

Dans le cas de l'anneau Z, on peut aussi évoquer que la complexité pour trouver le pgcd de n et de m est de l'odre de ln(n+m).

Il y a en effet énormément de choses à dire sur cet article,

Ekto - Plastor 18 juin 2007 à 12:36 (CEST)

Prudence - article à relire

Suite à une première lecture, j'ai du procéder à plusieurs corrections (sur des équivalences fausses) et des précisions sur les ensembles de définition. Mon ravaudage a été désordonné et il peut encore subsister erreurs et imprécisions. Prendre l'article avec prudence tant qu'un autre relecture n'aura pas validé l'article. HB (d) 3 février 2008 à 17:31 (CET)

j'ai relu mais je soupçonne que tu n'aimes pas calculer le PGCD de 0 et 0 ? En termes d'idéal engendré ce n'est pas un cas particulier, en termes de diviseur c'est vrai que ça choque un peu plus... il faut peut être un rappel général sur cet article et laisser l'article PGCD expliquer le pourquoi. Peps (d) 3 février 2008 à 18:27 (CET)

Domaine où prendre a et b

Si on prend a et b non tous nul, tout colle

Si on prend a et b éventuellement nul, il faut revoir la démonstration que j'ai essayé d'arranger car l'élément générateur de $a\mathbb {Z} +b\mathbb {Z}$ est 0 et ce n'est pas le plus petit élément strictement positif de $a\mathbb {Z} +b\mathbb {Z}$. Il faut aussi revoir la forme de l'ensemble des solutions car on diviserait pas d (nul)

D'où ma prudence... Mais Peps, si tu vois comment arranger tout cela n'hésite pas. HB (d) 3 février 2008 à 18:29 (CET)

dans la démo j'avais mis à part ce cas d'entrée. Ensuite, il fallait effectivement mettre à part le cas d=0 pour la description des couples solutions (décrire tous les couples solutions pour a=b=0 ne me semble pas utile), bien vu ! Est ce que ça te semble aller ? Peps (d) 3 février 2008 à 18:39 (CET)

Oui presque (voir dernière modif). Merci pour ta relecture. HB (d) 3 février 2008 à 18:50 (CET)

Excusez-moi, mais c'est difficile de dire que 0 est le pgcd de 0 et 0 (tous les nombres divisent 0). En principe, on n'a pas de pgcd de deux nombres nuls (franchement, à part Bourbaki, je me demande qui va avoir à traiter ce cas, mais bon ). Il faut supposer partout que l'un des nombres considérés est non nul. Amicalement, --Cgolds (d) 4 février 2008 à 16:26 (CET)

Serait-ce une ligue féministe anti-zéro se dressant contre la vision bourbakiste ? En fait, pour moi, ça m'est égal tant que l'article conserve sa cohérence. Il est fréquent de voir définir 0 comme le pgcd de 0 et 0. Si la relation d'ordre "inférieur ou égal" dans les entiers naturels est celle définie par "a est plus petit que b ssi a divise b", 0 est bien le plus grand de tous les entiers donc le plus grand des diviseurs communs de 0 et 0. Donc, un pour, un contre, un neutre, d'autres avis ?. HB (d) 4 février 2008 à 18:04 (CET)

Moi qui avais réussi à cacher mon féminisme militant jusqu'à présent...Rattrapée par 0 ! Sérieusement, autant pour moi, j'étais allée voir pgcd et j'avais vu/cru que la définition n'était donnée qu'avec un des nombres non nuls, donc je me suis dit qu'on allait au devant de problèmes. En fait, il y a bien une section sur pgcd (0,0)=0. Donc, en croisant les doigts pour qu'elle ne disparaisse pas, c'est ok pour moi aussi, mais je suggère vivement de rappeler nettement et pas seulement de dire en passant que pgcd (0,0)=0 (type: avec la normalisation/définition usuelle du pgcd (0, n) =n, etc...) pour éviter les doutes et les corrections intempestives (comme celle que j'ai failli faire - heureusement que je suis causante en plus d'être féministe). Amitiés, --Cgolds (d) 4 février 2008 à 20:16 (CET)

Théorème de Paoli

En lisant un article sur les travaux de Laguerre, je suis tombé sur cette intéressante question résolue par Laguerre et avant lui par un certain Paoli: combien y a-t-il de couples solutions dans R+ x R+ de l'équation ax + b y = n ? le théorème de Paoli dit qu'il y en a N/(ab). Peut-être un complément à introduire ?Claudeh5 (d) 14 août 2008 à 17:49 (CEST)

Oui, cela me semble tout à fait bienvenu dans cet article. J'en ai trouvé une version plus précise ici : Pour a et b entiers strictement positifs, le nombre de couples d'entiers positifs (x,y) solutions de ax+by=n est [n/(ab)] ou [n/(ab)]+1 selon qu'il existe ou non une solution positive à l'équation ax+by=r où r est le reste de la division euclidienne de n par ab. Ensuite est cité un théorème attribué à Cesaro sur le nombre de valeurs de r (r strictement compris entre 0 et ab) tels que l'équation ax+by=r n'admet aucune solution positive. Est-ce de cela dont tu parles ? HB (d) 14 août 2008 à 19:38 (CEST)

Pour ma part, j'avais trouvé cela hier (page 257 exactement) dans le texte de Rouché "Edmond Laguerre, sa vie et ses travaux" publié au Journal de l'école polytechnique, série 1,cahier 56, p213-277 mais on doit parler de la même chose. je recherche le mémoire dans les oeuvres de laguerre.Claudeh5 (d) 14 août 2008 à 20:00 (CEST)

Laguerre, "Sur la partition des nombres" bulletin de la société mathématique de France, T 5, 1877, page 76

Faut-il scinder cet article en deux articles ?

Voilà ce que je propose. Mais évidemment cela reste à discuter. L'idée est de faire un article de base sur la résolution de l'équation ax+by=c en nombres entiers sans l'encombrer inutilement de considérations sur les polynômes, ... Les méthodes de résolution seront indiquées dans l'article et on pourra y adjoindre notamment la détermination d'une solution initiale par les fractions continues, par la fonction phi d'Euler, et le théorème de Paoli. Je suis d'autre part absolument opposé au titre "identité de Bezout" , d'abord parce que Bezout n'a jamais mis d'accent à son nom, quelle que soit la prononciation, ensuite parce qu'il ne s'agit nullement d'une identité mais seulement d'une caractérisation.Claudeh5 (d) 20 août 2008 à 10:33 (CEST)

Excellente idée de développer le thème de l'équation ax+by=c. C'est en effet un sujet connexe de celui développé ici. Pourquoi ne pas le faire dans un article s'intitulant équation diophantienne ax+by = c dans lequel se placerait naturellement l'allusion au théorème d'existence, l'ensemble des solutions, le nombre de solutions positives, etc...

Resteraient dans cet article uniquement les théorèmes:

• si d est le pgcd de a et b alors il existe deux entiers x et y tels que ax+by = d
• a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers a et b tels que ax+by = 1
• la variante sur plusieurs nombres

ainsi que leurs variantes sur les polynômes et sur les anneaux euclidiens.

Si l'on scinde ainsi, il faudrait par exemple nommer cet article Théorème de Bachet-Bézout, celui sur lequel tu veux travailler équation diophantienne ax+by = c et créer une page d'homonymie sur identité de Bézout renvoyant sur les théorèmes et sur l'équation diophantienne (l'expression "identité de Bézout" est trop employée pour que nous la traitions par le mépris).

Qu'en penses-tu ? HB (d) 22 août 2008 à 10:05 (CEST)

Quant au fameux débat Bezout - Bézout, je crois qu'il faut se ranger à la version "moderne" qui est Bézout. C'est celle qu'on trouve dans les livres les plus récents, dans l'encyclopédia universalis, chez Mac Tudor, c'est aussi sous ce nom qu'il apparaît en biographie sur wikipédia. C'est sous ce nom qu'est publié "Théorie générale des équations algébriques" (voir Galica). L'orthographe du nom est fluctuante mais ce n'est pas à nous de re-refaire le monde.HB (d) 22 août 2008 à 10:05 (CEST)

Je viens de créer l'article équation diophantienne ax+by = c à compléter et à relire. J'ai demandé aux admins de renommer cet article en Théorème de Bachet-Bézout. Affaire à suivre..... HB (d) 6 novembre 2008 à 11:38 (CET)

Polynômes

Le paragraphe de l'article parle d'une famille, il n'est pas précisé qu'elle est finie. Que signifie une somme infinie dans ce cadre (nulle sauf sur un ensemble fini) ? La famille est-elle finie ? Même corrigé, ça me semble semble bien compliqué pour pas grand chose, le cas de deux polynômes avec un exemple simple (Q[X]) serait tout aussi bien. Il y a des prolongements sur l'inverse dans les corps quotients. Et ne faut-il pas que le corps soit commutatif ? Proz (d) 9 novembre 2008 à 13:03 (CET)

Tu as raison : inutilement pédant et faux par imprécision (famille finie, corps commutatif) à compléter en citant le cas de deux polynômes à coefficients dans Q ou R avec les utilisations possibles (réduction en éléments simple par exemple). HB (d) 9 novembre 2008 à 16:13 (CET)

Il y a beaucoup d'utilisations en fait, par ex. l'algèbre linéaire (diagonalisation, et trigonalisation, qui, à la réflexion, ont peut être inspiré cette formulation). Je corrige à minima pour le moment, pour ne pas laisser quelque chose d'inexact, mais c'est à reprendre entièrement. Proz (d) 9 novembre 2008 à 18:04 (CET)

Suppression d'un lien externe

J'ai supprimé le lien

• (fr) Une démonstration "géométrique" du théorème de Bezout Franck Gautier

qui présentait une démonstration géométrique, pourtant intéressante, du théorème de Bachet-Bézout car il me semble qu'en l'état elle présente une faille de raisonnement. La démonstration s'appuie sur le lemme de Gauss qui est présenté en général comme une conséquence du théorème de Bachet-Bézout. On pourrait certes se passer du lemme de gauss dans la démonstration mais celà consisterait à produire une démonstration très voisine de la démonstration classique. Je ne pense donc pas que l'on puisse valider ce lien externe. D'autres avis ? HB (d) 10 novembre 2008 à 09:31 (CET)

« En particulier »

L'article propose à plusieurs endroits des énoncés du type « Si d est le PGCD de a et b, alors il existe u, v tels que d = au+bv; **En particulier** PGCD(a, b) = 1 ssi il existe u, v tels que au+bv = 1 ».

« En particulier » signifie « dans le cas particulier de ... l'énoncé se lit ... » or ici, l'énoncé ne donne pas une équivalence. Si l'énoncé avait été « PGCD(a, b) = d ssi d est la valeur strictement positive minimale pour laquelle il existe u, v tels que au+bv = d » alors pas de problème, mais ce n'est pas le cas. Ce « en particulier » devrait se lire « Aussi ». --50.21.137.137 (d) 18 octobre 2012 à 18:55 (CEST)

Je comprends l'objection mais, pour ma part, j'interprète le « en particulier » dans un autre sens : dans le cas particulier où a et b sont premiers entre eux, le théorème s'énonce comme une équivalence. Je ne pense pas qu'il soit judicieux de présenter la version avec l'équivalence pour le cas général, car ce n'est pas celle que l'on trouve dans la littérature et elle me semble inutilement compliquée (valeur minimale strictement positive). D'autre part, je ne vois pas comment construire une phrase avec « aussi ». N'ayant pas l'imagination suffisante pour trouver une phrase plus heureuse, je préfère provisoirement reste sur la formulation existante en attendant d'autres suggestions. HB (d) 18 octobre 2012 à 19:17 (CEST)

Ca me semble plus clair du point de vue de la formulation de mieux séparer les deux énoncés. Du coup a-t-on vraiment besoin d'un mot d'articulation ? Proz (d) 18 octobre 2012 à 21:16 (CEST)

Oui, c'est une solution. Merci. HB (d) 18 octobre 2012 à 21:21 (CEST)

Modifs de décembre 2016

Message transféré de ma pdd et réponse en suivant

Bonjour,

En éditant la page sur le Théorème de Bachet-Bézout le 23 décembre, vous avez supprimé plusieurs améliorations que j'avais apportées quelques jours auparavant. Pourriez-vous SVP les relire en détail et, si vous êtes d'accord, modifier l'article en fonction ? Par exemple, j'avais transféré le résultat réciproque à un endroit qui me semble plus judicieux, et j'avais groupé plusieurs paragraphes déconnectés du reste sous le titre « Infinité de solutions ».

D'autre part, selon les sources, l'identité de Bézout est une implication (comme dans le texte actuel) ou une équivalence (comme dans la version que j'avais éditée). Je n'arrive pas à trouver de source fiable. En connaissez-vous une ?

Merci. J.-P. Martin-Flatin (discuter) 14 janvier 2017 à 13:25

Bonjour, j'avais déjà lu en détail vos modifications avant d'en supprimer certaines (pas toutes) :

• celles qui introduisaient une erreur (c'est la rectification de cette erreur par une IP qui m'avait fait remarquer vos modifs) ;
• celles qui, à mon avis, rendaient le plan bien moins clair.

J'avais laissé (à contre-cœur) celles qui brisaient inutilement des ancres, mais je viens de réparer ces ancres tout en maintenant vos changements de titres.

Je viens aussi de rétablir votre titre « Infinité de solutions » devant les paragraphes que vous aviez regroupés.

Je chercherai d'ici ce soir des sources. Cordialement, Anne, 14 h 08 et 16 h 54

J'ai sourcé de mon mieux. Quant à l'équivalence par laquelle vous aviez remplacé l'implication du premier théorème (que nous appelons l'identité de Bézout), elle était fausse. On pourrait bien sûr énoncer une équivalence vraie en ajoutant l'hypothèse du § Théorème de Bachet-Bézout#Résultat réciproque (« si d divise a et b »), mais ce serait peu élégant et à mon avis insourçable. Anne, 19 h 35

Bonjour,

Oui, vous avez raison, j'avais fait une erreur. Merci de l'avoir corrigée.

J'ai supprimé de la section "Résultat réciproque" ce qui faisait doublon avec le Théorème de Bézout. J.-P. Martin-Flatin (discuter) 19 janvier 2017 à 00:46 (CET)

Incohérence

Bonjour,

Le théorème est énoncé ainsi : « Soient a et b deux entiers relatifs. Si d est le PGCD de a et b, alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d. »

Cela signifie que le PGCD doit être défini pour a=b=0. Or, l'article Plus grand commun diviseur de nombres entiers n'a pas l'air d'aborder ce cas.

109.217.165.33 (discuter) 26 décembre 2017 à 18:07 (CET)

L'article Plus grand commun diviseur de nombres entiers dit tout de même « On pose par convention : PGCD(0 ; 0) = 0 ». (Pour ma part, j'exposerais ces notions un peu autrement, en disant que dans l'expression « plus grand commun diviseur », « plus grand » est à entendre relativement à la relation d'ordre « divise » entre nombres naturels, mais c'est une autre affaire.) Marvoir (discuter) 26 décembre 2017 à 20:53 (CET)

Et Bachet dans tout çà ?

C'est lui l'auteur initial du théorème de Bachet-Bezout, mais il est très souvent oublié, passé à la trappe, Bachet. C'est injuste,peut-être est-il victime de la crainte d'une déformation en théorème de Bachi-Bouzouck. je ne sais pas, mais en mathématiques bien des grandes figures sont maltraitées au lieu d'être honorées, à postériori. On peu citer par exemple Leonardo Pisano rebaptisé Fibonacci par un escroc au XIXème siècle ou encore Nicollo Fontana qui est le plus souvent appelé Tartaglia c'est-à-dire "Le bègue" en français . Son bégaiement résultait d'un coup de sabre qu'il avait reçu à 12 ans d'un soudard français. Momo--2A01:CB08:80C0:5300:E062:8BC3:6D68:D56A (discuter) 18 novembre 2018 à 15:57 (CET)

Bachet est correctement indiqué dans l'historique. Cordialement, -- Cgolds (discuter) 18 novembre 2018 à 18:16 (CET)