Discussion:Série entière

dans le paragraphe mac Laurin de fct développable en série entière, n'est-ce pas pour z différent de c qu'il faut lire ?

Je pense que oui. Corrigé. HB 4 mai 2006 à 12:26 (CEST)

Opposition dépourvue de pertinence

Vouloir opposer "série entière" et "développement limité" n'a guère de sens : ces deux notions n'ont a priori aucun rapport (par exemple, une fonction peut fort bien avoir en un point un D. L. à l'ordre 2 sans y avoir de dérivée seconde). Vivarés 4 juillet 2006 à 11:11 (CEST)

D'accord avec cette remarque (encore qu'il y a une implication qui est vraie...) ; j'ai toujours considéré que entière venait de ce qu'on a des puissances entières (sous entendu positives d'ailleurs). Quelqu'un a-t-il une certitude sur l'origine de ce nom ? Peps 4 juillet 2006 à 14:00 (CEST)

oui ,cela vient des puissances entières (le mot "série" disant que l'on prend une somme infinie): cela donc a sens d'opposer "développement en série" et "developpement limité" mais surtout (pas d'accord avec vivares et peps) "série entière" et "développement limité" Jaclaf 24 novembre 2006 à 17:04 (CET)

supprimer c

J'ai fait c=0 partout car je ne voyais pas l'intérêt de trimballer c tout le long. En plus je m'interroge sur cette convention : tous les ouvrages que je connais définissent les SE avec $a_{n}z^{n}$, même si ensuite on définit la notion de fonction ayant un développement en série entière en un point autre que 0. Peps 19 février 2007 à 00:08 (CET)

J'approuve. --DSCH (m'écrire) 19 février 2007 à 00:14 (CET)

Développement de (1+x)^a, a entier

ce n'est pas plutôt 1 le rayon de convergence ?

non, pour a entier, la série est en réalité une somme de a + 1 termes donc formule valable pour tout réel x (formule du binôme de Newton). HB 4 mars 2007 à 15:09 (CET)

Règle d'Hadamard

Au sujet de la règle d'Hadamard, la phrase disant "découle de la règle de Cauchy" me semble propice à confusion. La règle de Cauchy n'implique pas, il me semble, la règle de Cauchy. Un contre exemple peut être donné à l'aide de série lacunaire, je pense. Je suggère de modifier cette phrase et d'ajouter une preuve des divers critères à l'ébauche d'article "Rayon de convergence". Je peux le faire.

la "règle de Cauchy" possède une version faible (avec existence d'une limite) et une version forte (à partir de la notion de limite supérieure). Cette dernière entraîne la formule de Hadamard. On trouve par exemple cette démonstration dans Cartan qui emploie bien le terme de "règle de Cauchy" pour la règle avec la limite sup (référence Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail de l’édition]). Je pense que votre objection portait sur la règle faible ? Peps 15 août 2007 à 17:51 (CEST)

Oui, puisque c'est celle qui est en lien et c'est celle qui est enseignée. Je suggère alors de rajouter cette règle forte à la page "règle de Cauchy" en plus de la faible (avec la référence que vous donnez). Toutefois, l'appellation "règle de Cauchy" pour cette règle forte me perturbe dans la mesure où elle est alors équivalente à la règle d'Hadamard.

Le dernier paragraphe de cette section me trouble également, le "il est souvent plus efficace" est imprécis, si quelqu'un a un exemple, cela serait intéressant je pense. D'ailleurs la règle d'Hadamard est aussi une propriété de convergence. Pour éviter toute confusion, ne faudrait-il pas signaler que la dernière phrase est une définition équivalente du rayon de convergence ? Tout comme la règle d'Hadamard l'est.

explication historique: Cauchy parlait de "plus grande des limites" là où l'on dit limite supérieure aujourd'hui, mais sans expliciter son terme. Comme cette notion n'existait pas, elle n'est due qu'à Du Bois-Reymond, il faudra attendre 1892 pour qu'Hadamard en donne une explication précise.Claudeh5 (d) 24 avril 2009 à 13:37 (CEST)

Sottise

cette formule est trivialement fausse: $\forall x\in \mathbb {R+} ,\,{\sqrt {x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,2^{2n}\,{\frac {x^{4n}}{(4n)!}}.$

1. la somme est égale à 1 pour x=0
2. son rayon de convergence est infini, ce qui est tout de même ennuyeux pour la racine carrée qui admet une singularité (un point de branchement) en 0.
3. elle est décroissante au voisinage de 0.
4. elle devrait être dérivable en 0, alors que la racine carrée ne l'est pas , ...
5. la sommation de la série donne $1/2*(exp(x)+exp(-x))*cos(x)$
6. il n'existe pas de développement en série entière de la racine carrée en 0.Claudeh5 (d) 24 avril 2009 à 09:28 (CEST)

Damned. Intervention d'IP du 20 mars masquée par un Bot le 23...! Je ne vois pas avec quoi la personne a confondu. Merci de ta vigilance. HB (d) 24 avril 2009 à 11:15 (CEST)

Origine du terme

L'article dit : " La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières."

Or, dans Les Mots et les Maths, de Bertrand Hauchecorne, il est dit : "Au XVIIeS, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en $a_{n}x^{n}$. Par extension, ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini."

--David Chappé (discuter) 24 août 2014 à 21:28 (CEST)

 David Chappé et Anne Bauval :

• Je pense qu'il faudrait préciser qu'il s'agit d'entiers positifs, ou bien ça inclut aussi les séries de Laurent ?
• Pourquoi "information douteuse", dans l’article ?

-- Camion (discuter) 14 septembre 2017 à 11:18 (CEST)

$n\geq 0$ est précisé dans le RI, et "entier naturel" dans la définition. Ce qui est douteux, c'est que l'expression "série entière" vienne de l'aspect entier positif des exposants...--Dfeldmann (discuter) 14 septembre 2017 à 11:50 (CEST)

On a un peu trop tendance à perdre de vue que tous les lecteurs des articles ne sont pas des mathématiciens entraînés. Il vaut mieux éviter les formulations où on doit chercher les éléments à gauche et à droite (Ici, dans le RI, on doit chercher d'un coté pour savoir qu'ils sont positifs mais sans dire qu'ils sont entiers, et de l’autre pour savoir qu'ils sont entier mais sans dire qu’ils sont positifs… Ne serait-il déjà pas préférable de dire que $n\in \mathbb {N}$ au lieu de $n\geq 0$ ? Wikipedia n'est pas un puzzle à résoudre…

Et puis sinon, qu'est-ce qui est douteux ? La source donnée ci-dessus par David Chappé n'a pas pu être vérifiée ? y-a-t'il une raison pour laquelle elle n’a pas été intégrée dans l'article ? On a des raisons de penser que c’est inexact ? -- Camion (discuter) 14 septembre 2017 à 18:43 (CEST)

Dfeldmann : "Finalement, Camion ne faisait qu'interpréter la citation à sa sauce"

 Dfeldmann : : Merci pour tes agressions perpétuelles !

Je voudrais bien que tu m'explique en quoi : "La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières." n'est pas une conséquence immédiate de "Au XVIIeS, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en a_nx^n. Par extension, ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini.". Parce que

1/ SI : une série est appelées série entière seulement si (=>) elle s'exprime sous forme de séries en a_nx^n;

2/ ET QUE : une série a_nx^n implique (=>) que les n sont des entiers;

ALORS on a bien que : "La série est dite entière du fait que (≡ seulement si ≡ =>) elle fait intervenir des puissances entières." De plus,

SI "ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini.", ALORS on ne peut même pas chipoter sur le fait que la série ne converge pas partout.

Donc, j'aimerais bien que tu arrêtes de me prendre pour un con, en contredisant systématiquement ce que je dis. Je manque sans-doute parfois un peu de rigueur mais la compréhensibilité des articles impose qu'on prenne parfois des raccourcis (quitte à les signaler par des "note") pour introduire les concepts. Mais supprimer des interventions sans discussion est contraire aux principes mêmes du travail collaboratif et c'est particulièrement agaçant de voir le nombre d'articles écrits par des mathématiciens qui ne se préoccupent absolument pas de savoir si ce qu'ils écrivent est accessible au non-mathématicien (ne fut-ce qu'en mettant des liens vers les articles qui décrivent les concepts utilisés. -- Camion (discuter) 27 septembre 2017 à 10:56 (CEST)

Et pourtant... D’abord , il n’aurait sans doute pas fallu beaucoup d’efforts à Hautecorne pour écrire qq chose comme « appelée série entière parce que les exposants sont entiers », mais il ne l’a pas fait  ; moi, si je devais interpréter, je dirais : on a appelé le développement en série (de Taylor) des fonctions entières un développement en série entière, ou encore (déjà plus TI) série entière comme s’opposant à série limitée (les développements limités bien connus à cette époque). Ton interprétation, j’insiste, n’est guère soutenue par les sources, ni par les autres intervenants... Pour le reste, tu fais évidemment preuve d’une volonté louable d’enrichir l’encyclopédie et de la rendre plus accessible, mais cela ne doit pas se faire au détriment de l’exactitude, du non-respect des sources, ou de rédactions trop approximatives. Chaque fois que, comme tu le reconnais toi-même, tu ne maitrises pas un sujet, ne t’empresses pas trop d’ajouter à l’article des informations qui, sous cette forme, risquent de provoquer le rejet irrité d’experts incontestables tels que Ariel Provost, alors qu’un passage en page de discussion permettrait à tous d’améliorer l’article et même de mieux comprendre le sujet...—Dfeldmann (discuter) 27 septembre 2017 à 15:00 (CEST)

Je te ferais remarquer, que quand je me dispute avec des experts incontestables — ce qui n’arrive pas tellement souvent, en fait (les vrais experts incontestables ont souvent assez vécu et de recul sur leurs connaissances pour savoir que leurs positions ne sont pas universelles…) — ce n’est pas sur le fond de ce qu'ils disent, mais uniquement quand ils écrivent des trucs incompréhensibles pour le lecteur, ou qu'ils ne respectent pas le travail des autres et les principes collaboratifs à la base de wikipedia. Et sur la question de la lisibilité, je suis, en tant que lecteur naïf, plus expert qu'eux pour savoir ce qui est compréhensible ou non par le tout venant.

En ce qui concerne la phrase de Hautecorne, je vois que tu éludes le problème par une non-réponse absurde. Je ne vois pas pourquoi Hautecorne aurait du répéter de façon simplifiée ce qu'il avait déjà dit de façon détaillée. Tu affirme gratuitement que mon interprétation n’est pas soutenue par les sources, mais tu ne réfutes pas ma preuve qu'au contraire la formulation d'Hautecorne implique celle que je soutiens. Quand à la question des autres intervenant, Tu veux dire Anne et toi ? Parce que personne d'autre n'a pris part au débat et personne n’avait contesté ce point depuis 2007…

Ici, on était dans le résumé introductif, et l'explication simplifiée y avait parfaitement sa place — et vous semblez juste ne pas vouloir reconnaître, Anne et toi, que vous aviez tort de vous acharner sur cette remarque que  Peps : (qui était prof de maths), avait mise en janvier 2007 et qui était parfaitement en accord avec le propos de Hautecorne.

Après ça, ton interprétation à ta sauce à toi, est celle qui présidait avant l'intervention de Peps, mais n'est même pas le moins du monde corrélée avec les propos de Hautecorne. En plus, ça semble complètement naïf - et peu logique, dans la mesure je ne pense pas qu’on n'utilise jamais cette appellation "entier", pour autre que des nombres entier, parce que ça conduirait à des confusions avec les nombres entiers : On parle de développements illimités et pas de développements entiers. -- Camion (discuter) 27 septembre 2017 à 22:10 (CEST)

 Camion :Bon, mea culpa ; ton interprétation est peut-être contestable, mais elle est pleinement confirmée par l’explication que donne Robert Ferreol (qui, avoue-t-il lui-même, n’est pas un expert, mais reste assez compétent sur ce genre de chose). J’ai intégré le tout à l’article.—Dfeldmann (discuter) 28 septembre 2017 à 22:13 (CEST)

Hum… c'est l'explication par Camion de l'origine du terme qui, bien que peut-être contestable, est à présent « sourcée » (par un blog, et en tant qu'hypothèse). Son interprétation de la source Hauchecorne, elle, était un contresens total. Cette source était justement fournie ci-dessus en 2014 par David Chappé comme objection à l'explication "La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières". Effectivement, Hauchecorne ne dit absolument pas que le mot "entière" viendrait de "nombre entier" mais de ce qu'autrefois, "fonctions entières" désignait les fonctions définies sur le plan tout entier (les "séries entières" désignant alors, parmi ces "fonctions entières", celles développables en série). Un glissement se serait alors opéré puisque de nos jours les anciennes "fonctions entières" n'ont plus de nom, le nom fonction entière ainsi libéré est affecté aux anciennes "séries entières", et le nom série entière ainsi libéré n'est plus réservé aux séries entières convergeant sur le plan tout entier. Je ne soutiens pas une hypothèse plutôt que l'autre, mais je ne supportais pas qu'on fasse dire à une source l'exact contraire de ce qu'elle dit. Anne, 29/9, 1 h 4.

Eh bien voilà: ça, c'est une remarque pertinente… Après la question, c'est pourquoi avoir attendu aussi longtemps qu'on se fâche pour la faire. De fait, je réalise à la lecture de cette réponse, qu'effectivement, je me suis focalisé sur la seconde phrase qui disais qu'on parle de série entière lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en $a_{n}x^{n}$ (donc implicitement avec des puissances entières puisque les exposant n des x, sont les mêmes que les indices des $a_{n}$ (et qu'on numérote rarement une série avec des indices fractionnaire) et donc je suis probablement passé un peu vite sur "le fait qu'au XVIIeS, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe". Il y a donc une ambiguïté qui m'avait échappé dans les propos de Hauchecorne. Cela dit, ça fait une troisième interprétation, mais qui me semble, quand même peu vraisemblable du fait que la première phrase vient surtout introduire ce sujet en se mettant dans un contraste historique avec la troisième (i.e. c'était comme ça dans le temps, mais ça n'est plus comme ça maintenant). Bon après ça, ça n’est pas non plus parce que le rayon de convergence est fini, que la fonction qu'elle approche n'est pas définie sur tout le plan complexe : elle peut avoir un rayon de convergence non nul quel que soin la valeur de a. Cela dit, je ne pense pas que je me sois trompé dans mon interprétation du propos d'Hauchecorne, mais je reconnais qu'effectivement il y-avait de la place qui m'avait totalement échappé pour une interprétation divergente. -- Camion (discuter) 29 septembre 2017 à 02:36 (CEST)

En fait, à la réflexion, je me demande si ces deux approches ne sont pas un peu corollaire… Je ne suis pas certains de la façon dont on procède dans le plan complexe, mais dès le moment ou les exposants ne sont plus des entiers positifs, on se heurte à des problèmes, non ? De fait, si les exposants sont des entiers positifs, n'a t-on pas toujours un voisinage de a sur lequel la série converge, et donc on peut définir de proche en proche une fonction définie sur tout le plan complexe ? Et Bon, s'il sont négatifs, ça c'est facile, la fonction à des pôles donc elle n'est clairement pas définie sur tout le plan complexe, mais si le exposants sont non entiers, ils peuvent être la réciproque d'une fonction non injective. Dans les réels c'est facile : on prends un cas par défaut ; la racine carrée est toujours définie positive, et puis c'est tout, mais dans les complexes, comment fait on ? Est-ce que le caractère non entier des exposants et le fait que ça de va pas éventuellement causer des discontinuités qui vont poser problème ? Comment définirait-on x^pi, dans le plan complexe ? i^pi pourrait potentiellement être n'importe quel nombre complexe dont le module vaut 1, par exemple. D'ailleurs même dans les réels, en fait : que vaut (-1)^pi ? la discontinuité qui apparaît vraisemblablement dans le plan complexe avec des puissances non entières autour des réels négatifs n'est elle par une raison de considérer que la série n'est pas entière au sens d'être définie sur tout le plan ? -- Camion (discuter) 29 septembre 2017 à 03:53 (CEST)

La lecture de nos excellents articles devrait t’éclairer : à Fonction entière, tu apprendras que si une fonction est définie et dérivable en tout point de C, sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini (et plein d’autres choses passionnantes sur, par exemple, le fait qu’une telle fonction peut croître dans les réels aussi vite qu’on veut) ; à divers endroits (exponentielle complexe, fonction multiforme, surface de Riemann, etc.), tu verras par exemple que (-1)^z est défini comme exp((2k+1)i pi z), ce qui, en prenant la détermination principale donne pour (-1)^pi le nombre bizarre cos(pi^2) + i sin (pi^2). Voilà...—Dfeldmann (discuter) 29 septembre 2017 à 06:30 (CEST)

Lol… C'est comme si je ne m'y essayais pas régulièrement, mais malgré que je suis loin d'être un neuneu en maths⁽¹⁾, une bonne partie de ces articles me sont restés incompréhensibles⁽²⁾. Pour certains de ces articles, je ne suis même pas sûr qu'ils soient facile d'accès pour des gens qui ont un master en physique - ce qui je pense est le deuxième niveau après le master en maths. Autant dire que ça fait beaucoup de gens (probablement plus du 99,9% de la population) pour qui c'est inaccessible. Tu n'imagines pas comme ça a déjà pu me faire fulminer, surtout quand je passe pour un idiot et un emmerdeur parce que j’essaye de reformuler les choses sur base de ce que je comprends de l'article pour rendre les contenus plus accessibles (au moins le début des articles) et qu'on révoque mes interventions sans même essayer de comprendre dans quel sens j'essaye de le faire évoluer (ce qui conduit à annuler l'effort) - et oui, effectivement, je vais directement dans l'article, parce que d'abord, c'est comme ça que wikipédia a été conçu depuis ses débuts, et que c'est moins épuisant pour tout le monde et ça permet par conséquent d'abattre plus de travail, quand un problème peut-être résolu sans d'interminables palabre, simplement à travers les commentaires de modification. De plus, de mon constat, il arrive très souvent qu'une intervention en page de discussion se solde par … absolument aucune suite - que ce soit parce que personne ne va lire la pages de discussion considérée (ce qui est impossible à savoir), ou parce que tout le monde s'en tape (Sans compter, quand c'est simplement parce que les contributeurs historiques de l’article se sont tous barrés) - Et effectivement, je suis convaincu que ça n’est pas pour rien si les choses en sont arrivées là : Un nombre important de contributeurs se sont simplement barrés parce qu'ils en avaient marre de la façon dont ils étaient traités quand ils essayaient de faire avancer les choses. Après ça, je suis bien d'accord qu'ils n'ont pas toujours raison, mais néanmoins, on aurait tort de se reposer sur nos lauriers et croire que tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes.

(1): J'ai étudié l’informatique et la psychologie au niveau BAC+4 et BAC+5, plus quelques autres trucs en plus (entre autres en physique) comme loisirs, et donc, avec aussi des cours avancé dans des domaines comme, l’analyse complexe, l'automatique, les probas et la calculabilité et crois avoir un niveau un peu hétérogène, mais qui doit être en moyenne quelque part de l'ordre du BAC+2 en physique - Je ne suis pas encore à l'aise avec l'ensemble du formalisme de la relativité générale, mais je continue à avancer.

(2): par exemple, parce qu'ils utilisent un formalisme qui n'est jamais explicité : ou avant-hier, encore, je suis tombé sur un article qui utilisait une intégrale avec un complexe conjugué, sans la moindre explication ni le moindre lien et il m’a fallu farfouiller à gauche et à droite pour m’assurer que c'était bien de ça qu'il s'agissait; et hier encore, je suis tombe sur un autre article de 6 lignes, pour lequel, je ne comprends même pas ce qu'il veut dire (qu'est-ce que "la donnée d'une série entière en ce point qui converge simplement vers la fonction sur le voisinage considéré").

 

Mais donc, pour en revenir au problème initial, ça confirme ce que je disais, alors : effectivement si une fonction entière doit être définie et dérivable en tout point, alors, à moins que quelque chose m'ait échappé, il me semble qu'une série dont les puissances ne sont pas des entiers positifs ne peut jamais être une fonction entière, et qu’une série de puissances entières positives est toujours dérivable sur son domaine de convergence. Donc oui, je serais bien tenté de penser que la compréhension qu' Anne Bauval : a du texte d'Hauchecorne et la mienne sont en réalité corollaires l'une de l’autre. -- Camion (discuter) 29 septembre 2017 à 11:22 (CEST)

Au final je ne suis pas vraiment sur de savoir pourquoi on appelle cela des "séries entières"... je dois avouer que je n'ai pas eu le courage de lire la totalité des centaines, voire des milliers de mots échangés entre les différents contributeurs mais j'ai eu l'impression que c'était sur des points de détails... quoique... Bon je me console en me disant que cette querelle est purement francophone... Dans la plupart des autres langues nos "séries entières" sont tout simplement des "séries de puissances" (anglais: power series, espagnol: serie de potencias, même en catalan c'est la même chose... italien: serie di potenze ... idem en allemand, norvégiens, suédois...) ... heureux peuples pour lesquels l'appellation ne nécessite pas de longues explications et qui évitent ainsi un long débat... Sguerin (discuter) 4 octobre 2017 à 23:27 (CEST)