Discussion:Produit vectoriel

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Le produit "vectoriel" n'a été créé par aucun mathématicien, contrairement au produit scalaire, dont on sait l'auteur : Hermann Grassmann.

Il s'est mis à flotter incréé dans l'air du temps dans les années 1870-1880, par habituation à partir des quaternions de Hamilton. On rencontre les mots "vector product" dans un cours de W.K. Clifford, consacré aux quaternions : il s'agit du produit de deux quaternions réduits à leur partie imaginaire, sans partie réelle.

Comme je l'ai montré à l'adresse http://lavaujac.club.fr/SYNTAXE2_.htm#_Toc47951986 ou à http://lavaujac.club.fr/SYNTAXE2_.pdf, page 12, § 5.2., le produit vectoriel n'est pas associatif, alors que l'associativité est préservée en quaternions : (i x j) x j = - i (même résultat qu'en quaternions), mais i x (j x j) = 0.

Cette perte de l'associativité contredit directement l'intention sémantique initiale : Tout ça c'est tout des vecteurs, ils se valent tous. Et leur ordre m'importe peu, il me suffit de changer le signe du résultat, quand je permute le multiplicateur et le multiplicande'. La non-associativité prouve la contradiction interne.

L'origine du drame est que cette école d'algébristes anglais du 19e siècle

- ne s'occupait que des coordonnées, d'ailleurs confondues avec les composantes,
- acceptait simultanément deux cahiers des charges incompatibles :
- Le cahier des charges sémantique, qui ne pouvait conduire qu'aux algèbres linéaires, en particulier à l'algèbre tensorielle,
- Le cahier des charges algébrique, celui qui avait conduit des réels aux complexes, puis aux quaternions de Hamilton, puis aux octaves de Cayley : on peut additionner et multiplier entre eux tous les nombres. Or comme les grandeurs physiques sont confondues avec les nombres, etc...
- s'est fort peu préoccupée d'architecture générale des concepts. Alors que cette réflexion architecturale est indispensable à une mathématisation rationnelle de la physique. Là, on a beaucoup à apprendre du génie logiciel, où s'est développée une riche doctrine du développement par classes (dans leur jargon, ils disent "orienté objet", il faut traduire). Sans que les mathématiciens s'en soient aperçus, là s'est développé une mathématique féconde, et dont la fécondité serait avantageusement transplantée dans d'autres disciplines.


De plus, le produit "vectoriel" conduit à des erreurs de symétrie systématiques, et à de graves incohérences en analyse dimensionnelle - dans le style de l'histoire farfelue "Je suis mon propre grand-père...". Il est dramatique de voir les physiciens arrêter leurs analyses dimensionelles, comme frappés de stupeur, dès que le sujet devient géométrique : c'est cette bombe à retardement léguée par le 19e siècle, ce produit "vectoriel", qui a encore fait des siennes dans leur entendement.

La seule solution est l'algèbre tensorielle, une fois rétablie dans la plénitude d'une analyse dimensionnelle physique, donc dans une architecture générale des concepts de la physique, avec explicitation des niveaux d'abstraction successifs. Explicitation contractuelle : il n'existe de qualité qu'à ce prix.

Lavau

Et comment prouvez-vous ?[modifier le code]

Et comment prouvez-vous que Gibbs connaissait l'Ausdehnungslehre, de Grassmann ?[modifier le code]

Version actuelle


Le produit vectoriel est le résultat d'une multiplication vectorielle dans l'espace euclidien orienté de dimension trois. Cette notion a été théorisée dans les années 1880 par Josiah Willard Gibbs à partir des travaux de Hermann Günther Grassmann.

Fin de citation.

Et comment prouvez-vous que Gibbs connaissait l'Ausdehnungslehre, de Grassmann ? Hamilton lui-même ne la connut qu'à la fin de sa vie, vers 1852, mais ne s'est préoccupé de que faire des calembours sur son nom, et de vérifier s'il n'était pas antériorisé.

Avant d'écrire votre version de l'histoire des sciences, ça vous arrive de vérifier dans des documents originaux ? Les ragots ordinaires vous suffisent ?

Complètement contradictoire avec les travaux de Grassmann, la construction de Gibbs est parfaitement conforme en revanche à la restriction aux imaginaires purs, des quaternions de Hamilton. Grassmann est tout à fait innocent de ce produit vectoriel dont vous l'accusez de façon si calomnieuse.

Il n'y a pas trente historiens en France qui soient spécialistes de cette question, et qui aient publié. Je suis l'un d'entre eux. Mais je serai vaporisé de Wikipédia d'ici, peu, car mes compétences font de l'ombrage aux petits ayatollahs.

Lavau 5 jul 2004 à 16:30 (CEST)

Références historiques à : http://lavaujac.club.fr/Mystification_.htm qui est lui-même extrait du livre : "Le nombre, une hydre à n visages ; entre nombres complexes et vecteurs", Editions de la Maison des Sciences de l'Homme. Paris, décembre 1997.

vandalisme : vecteurs parallèles ou colinéaires[modifier le code]

Vu que cette ip n'a fait que des vandalismes, j'ai révoqué sa modif, mais je ne suis pas sûr de n'avoir pas fait une erreur. Quelqu'un pour con- ou in-firmer ? Merci d'avance Alvaro 21 novembre 2005 à 14:15 (CET)

Je répéte ma question, vu qu'une autre ip vient de remettre collinéaires... dans le doute, je ne reverte plus Alvaro 23 novembre 2005 à 14:26 (CET)
C'est effectivement correct, « parallèle » est la notion plutôt géométrique, alors que « colinéaire » est plus formelle (à mon sens), mais représente la même chose. ~ Seb35 [^_^] 8 juin 2006 à 01:01 (CEST)

Le préfixe co- indique quelque chose en commun ou partagé: collaborateur, colocataire, coaxial, copain, etc. Colinéaire veut dire qu'ils partagent la même ligne (droite je suppose). C'est donc beaucoup plus restrictif que parallèle. Dans le cas des vecteurs je crois que le terme est parallèle et non colinéaire. LP 5 août 2006 à 16:56 (CEST)

Non, c'est colinéaire le bon terme. R 5 août 2006 à 17:35 (CEST)
je me permets de détailler la réponse laconique -- et correcte -- de R. Il y a confusion parce qu'en physique on désigne parfois par "vecteur" des "vecteurs attachés", avec un point d'application. Mais en maths un vecteur admet plusieurs représentants. Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs qui peuvent être représentés sur une même droite. Ce qui veut dire u et v sont colinéaires si et seulement si u est multiple de v par un réel ou v un multiple de u par un réelPeps 5 août 2006 à 18:08 (CEST)

Grand bien vous fasse. LP 7 août 2006 à 08:31 (CEST)

Utilité de ces définitions et commentaires[modifier le code]

Je suis toujours effaré par les définitions et commentaires donnés ici. A croire que les auteurs se font un plaisir d'expliquer un concept par d'autres plus compliqués encore ? qu'ils ecrivent pour montrer "qu'ils savent" en en rajoutant dans le jargon. Vous passez une thèse ou vous ecrivez un article afin de définir et faire comprendre une notion ? Et encore, si montrer que l'on sait, c'est manipuler des formalismes et un jargon - peut-être tout à fait juste - mais sans aucune valeur explicative, je veux bien.

Mais à mon sens, si on maitrise réellement un concept, on est capable d'en faire comprendre les origines, tenants et aboutissants. Si on ne maitrise pas la chose, on peut se contenter d'en manipuler les formalismes. C'est ce que je trouve ici.

A chaque fois que j'ai chercher à mieux appréhender un concept que je sais manipuler mais dont je ne maitrise pas bien le fond, ce n'est pas sur Wiki que j'ai trouvé. Je ne suis qu'un modeste parent d'élève, qui se permet d'expliquer simplement à ses enfants diverses notions de Lycée(en math, physique, chimie) quand ils reviennent en disant "on a commencé un nouveau chapitre et je n'ai rien compris". Sachant que les manuels scolaires ne sont d'aucun secours (!), je puise dans mes souvenir, ma réflexion et internet de quoi expliquer des choses qui devraient être simples, intéressantes, stimulantes (vecteurs, trigo, complexes, moles en chimie !...)

Messieurs les auteurs, un peu de modestie, ou plus de compétence, au choix.


définition mathématique?[modifier le code]

J'ai vu en cour une définition du produit vectoriel à partir du produit mixte d'un espace euclidien et du théorème de Riesz, je me demande si cette modification serait approprié vu le coté physique de la définition actuelle. Qu'en pensez-vous? La généralisation du produit vectorielle n'est pas trés éclairante pour étudier les propriétés de ce produit.

La définition générale du produit vectoriel à partir du produit mixte se trouve sur Produit mixte, c'est vrai que ça pourrait compléter l'article actuel, parallèlement à l'approche tensorielle (enfin, je ne connais pas encore trop tout ça). ~ Seb35 [^_^] 8 juin 2006 à 00:56 (CEST)

Notation japonaise[modifier le code]

Je ne sais pas quelles sont les références de Flo pour affirmer que la notation au Japon est . Il suffit de cliquer sur le lien 日本語 du même article dans le wikipedia en japonais (pas besoin de lire le japonais, car ils utilisent des caractères latins pour les formules). On constate que les wikipedians japonais actuels utilisent la même notation que les pais anglophones, hispanophones, etc.: . Est ce que Flo peut nous expliquer cela? LP 5 novembre 2006 à 13:51 (CET)

Je n'ai fait que TeXiser l'ajout de 82.232.75.122 ce matin à 0032. Je me suis dit que cette contribution était pertinente, et que peut-être les Japonais avaient deux notations en concurrence (comme par ici). Mais c'est vrai que si l'article japonais n'y fait pas référence, mieux vaut révoquer. Si ça continue, l'aricle deviendra un catalogue à notations. — Florian, le 5 novembre 2006 à 14:04 (CET)

Pseudo-vecteur[modifier le code]

L'article partait un peu dans toutes les directions, avec des approximations et des erreurs, plus des commentaires qui viennent d'être rajoutés et qui étaient un peu cryptiques quoique en général bien inspirés. Je viens de réaliser qu'il y a eu bataille ici jadis.

J'ai essayé de faire avec le matériau déjà présent même si je ne suis pas très chaud pour le travail en composantes tensorielles. La problématique du "pseudo-vecteur" doit être signalée en termes simples en début d'article, et re mentionnée (avec la question des symétries des équations de la physique) dans une phase de conclusion, qui ouvre sur la dualité de Hodge qui est le bon moyen de dénouer tous ces problèmes. Y'a-t-il des suggestions pour un remaniement plus en profondeur ? Peps 30 janvier 2007 à 14:16 (CET)

"définition" en composantes[modifier le code]

J'ai bien comrpis la démarche :

  1. on définit produit vectoriel par des formules sur R^3
  2. on utilise une identification par choix de BOND pour étendre à une eve de dim 3 orienté
  3. on vérifie que ça ne dépend pas de l'identif, c'est à dire du choix de base.

Formellement c'est possible de procéder ainsi. Mais, tant qu'on emploie la déf précédente pour prouver le point 3, c'est assez bizarre de prétendre qu'il s'agit d'une définition autonome, non ?

Il est beaucoup plus raisonnable, et beaucoup plus clair d'y voir une application qu'une définition (quel bouquin prendra ça pour une déf d'ailleurs ?)

Ou alors variante moins affreuse : on prend une BOND, on pose les ei vect ej pour les vecteurs de base et on étend par bilinéarité. Il reste alors à signaler que ces formules fondamentales sont invariantes par changement de BOND. Mais on revient toujours au même point : qui justifie cette déf ? elle semble parfaitement arbitraire, en opposition complète aux autres (déf par la géom euclidienne, l'algèbre multilin, les gpes de Lie, et lien avec la déf historique par les quaternions qui en est un avatar). Peps 3 février 2007 à 18:29 (CET)

Je donne juste les équivalences entre les définitions. Une implication suffit du fait qu'il y a existence et unicité dans chaque cas !
La définition avec les coordonnées est utile en pratique pour les calculs explicites, et on peut la poser comme définition. Comme tu l'as mentionné, son inconvénient majeur est de faire dépendre en apparence du choix d'une bond. Mais dans R3 la question ne se pose pas !
D'un autre côté, tu as raison ; cette approche n'est pas la plus importante ! Mais je trouve seulement incohérent de créer un sous-sous-paragraphe unique. Cela rend l'article inhomogène.
Ekto - Plastor 3 février 2007 à 19:59 (CET)

organisation des infos de cette page[modifier le code]

En relisant la page j'avoue une réticence face au mode d'organisation choisi : d'abord plein de déf équivalentes, mais de niveau de difficulté fortement plus avancé que les déf "intuitive" et "correcte par le produit mixte". Du coup les "propriétés zélémentaires" arrivent bien tard.

Ne pourrait on en venir plus vite au fait, en mettant un ordre comme celui-ci

  1. Définition
    1. déf géométrique
    2. déf par le produit mixte
    3. notations (après la déf c'est plus logique)
  2. Histoire
  3. propriétés
  4. applications
  5. définitions alternatives

-> avec pour chacune extension (ou non) à la dimension > 3 et invariance par isométrie directe.

je précise que je ne parle que de l'organisation du plan, le contenu est tout à fait bien dans les "déf alternatives". Peps 20 février 2007 à 15:29 (CET)

Pour à 100%, mais il serait bien de voir que certaines définitions alternatives permettent de réinterpréter certaines propriétés élémentaires. Exemple : l'identité de Jacobi et l'invariance par isométries reflètent par exemple la définition du produit vectoriel obtenu comme transport de structure à partir de l'algèbre de Lie de SO(3). Ekto - Plastor 20 février 2007 à 18:46 (CET)
Pour également. Juste fais-le :) jd  3 mars 2007 à 19:22 (CET)
ben à l'heure présente je l'ai déjà Fait Peps 4 mars 2007 à 14:29 (CET)
Et c'est ça qui est très fort. jd  4 mars 2007 à 14:30 (CET)

Produit vectoriel à recycler[modifier le code]

La section sur la preuve par tenseur est marquée à recycler, qu'en est-il ? jd  4 mars 2007 à 14:31 (CET)

notation du produit vectoriel[modifier le code]

Je suis un peu étonnée de la notation pour le produit vectoriel. Je l'ai appris avec la notation , et il est utile de disposer de deux notations distinctes pour le produit vectoriel et le produit extérieur. En effet, si on prend deux formes linéaires et sur , on peut définir leur produit extérieur par la formule classique

,

et on obtient comme ça une forme bilinéaire alternée. Associons à le vecteur dont les composantes sont , en prenant comme ej lrs vecteurs d'une base orthonormale directe, et de même pour . Associons au produit extérieur ses composantes sur la base formée de :

.

On retrouve le produit vectoriel, et on peut écrire

Il me semble que pour expliquer cela, on a besoin de deux notations différentes. Qu'en pensez-vous? --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 21:42 (CET)

Personnellement, je ne suis pas étonné de la notation wedge, puisque c'est celle qu'on m'a enseignée et que j'utilise. Par ailleurs, vu que le produit vectoriel définit précisément l'isomorphisme canonique entre l'espace euclidien de dimension 3 et sa deuxième puissance extérieure, la confusion des deux symboles n'est pas anodine ni dommageable. Maintenant, l'article lui-même rappelle que le symbole wedge est la notation française, suivant une convention différente de celle des pays anglo-saxons. En attendant qu'une instance française décide d'aligner la notation du produit vectoriel sur la notation produit, il nous faut respecter l'usage majoritaire des pays de langue française. Ambigraphe, le 12 mars 2008 à 22:14 (CET)

Produits vectoriels en dimension plus grande[modifier le code]

Il faudrait dire un mot en dimension 7...--Globu (d) 3 avril 2008 à 11:12 (CEST)

Les anglophones en parlent donc avis aux traducteurs. Pamputt 26 juin 2009 à 17:08 (CEST)

Flèche ou pas ?[modifier le code]

Bonjour, dans la partie Calcul en composantes, il n'y a pas de flèches sur les vecteurs u et v. Est ce volontaire ou un simple oubli ? Pamputt 26 juin 2009 à 17:06 (CEST)

wikipédia mathématique et l'honnête homme[modifier le code]

les articles mathématiques de wikipédia sont souvent difficilement compréhensibles par un honnête homme (je veux dire par un titulaire d'un bac S ou même de qqn ayant fait une ou deux années d'études supérieures en maths). On a l'impression de lire des discussions entre mathématiciens chevronnés agrégatifs ou doctorants. Je pense qu'il y a d'autres lieux de rencontres pour ces mathématiciens (forums spécialisés ou séminaires universitaires).

wikipédia a pour fonction d'exposer à des non-spécialistes curieux des notions qu'ils n'ont pas apprises pendant leurs études.

Tel est le cas du produit vectoriel. J'ai plus appris sur le produit vectoriel par des cours que j'ai trouvés en ligne que par cet article de wikipédia.

Exemple concret : le double produit vectoriel D = U x (V x W) (J'utilise x pour le produit vectoriel non par choix mais par commodité typographique).

Je comprends aisément que D se trouve dans le plan engendré par V et W, et donc que D = aV + bW) et donc le problème revient à la détermination de a et b. Mais au-delà je suis perdu, comment trouver a et b? Pourriez-vous me donner une démonstration simple pour "honnête homme"? Merci

P.S. : j'apprécie les passages sur l'histoire des maths, complètement passée sous silence dans les exposés scolaires, comme si tout était tombé du ciel. Ceci dit il serait bon que ces présentations historiques soient compréhensibles par l'honnête homme.

Bonjour, Notification 78.248.204.134 :Concernant le double produit vectoriel, il me semble que cette section de l'article contient un encadré (intitulé, surprise, Démonstrations des égalités du double produit vectoriel) sur lequel il suffit de cliquer pour obtenir non pas une, mais quatre esquisses de démonstrations, accompagnées de références vers des preuves complètes et détaillées, dont la première au moins devrait suffire (même si elle n'est pas très éclairante) à n'importe quel bachelier S (mais sont-ce encore des « honnêtes hommes » ?). Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 20 février 2019 à 14:38 (CET)

Je vous remercie de votre réponse rapide. Oui j'ai regardé les démonstrations pour le double produit vectoriel. Je ne parle pas de la première démonstration qui est simple (il suffit de faire le calcul), mais de la démonstration qui s'appuie sur le fait que le double produit est dans le même plan que les deux 1ers vecteurs de départ et est donc une combinaison linéaire. Oui il y a des renvois à des articles spécialisés, mais je pense que ces articles ne sont pas assez explicités, vous devriez les commenter, ou alors affirmer, si tel est le cas, que cette partie de l'article n'est pas accessible à un mathématicien moyen, mais par exemple à qqn ayant une maîtrise de maths, si tel est le cas. Pour cette démonstration vous dîtes "et même (en effectuant le produit scalaire des deux membres par u) qu'il existe un réel λ tel que u ∧ ( v ∧ w ) = λ ( ( u ⋅ w ) v − ( u ⋅ v ) w ) . .On montre ensuite que λ est indépendant de u, v et w. On conclut en calculant sa valeur pour (u, v, w) base orthonormée directe : λ = 1". J'avoue ne pas comprendre ce passage, que vient faire ce lambda?

Rebonjour, Notification 78.248.204.134 :Ben non, l'objectif n'est pas de permettre à n'importe qui de (re)démontrer n'importe quel résultat, mais de donner des indications aussi précises que possible sur les méthodes employées (avec, évidemment, des liens vers les dites méthodes). Ici, les démonstrations sont de plus en plus abstraites et générales, donc (évidemment?) de plus en plus difficiles à reconstituer pour un lecteur lambda (et même oméga). Si vous êtes à l'aise avec les algèbres de Clifford, ces démonstrations vous paraitront naïves et lourdes ; inversement, pas question de parler de produit vectoriel, sauf en termes très vagues, à un élève de troisième (même doué, motivé, et ayant déjà bien avancé dans le programme des années suivantes). Le fait de donner ces quatre démonstrations devraient, espérons-le, satisfaire la plupart des lecteurs. Pour répondre plus précisément à votre question (exercice 44 de cette référence), il est clair qu'on doit avoir u.(a (u.v)w+b(u.w)v)=0 ; le lecteur de l'exercice (élève d'une bonne MP*) est censé être capable de conclure tout seul...  --Dfeldmann (discuter) 20 février 2019 à 16:13 (CET)
Bonjour, Notification 78.248.204.134 :, je conçois qu'une démonstration seulement esquissée ne renvoyant pas sur une source où la démonstration est clairement détaillée a quelque chose de frustrant pour l'honnête homme et peut laisser croire à un entre soi méprisant. J'ai cherché, malheureusement en vain, une source accessible détaillant complètement cette démonstration. La démonstration en détail est trop longue pour figurer ici , mais si quelques pistes supplémentaires peuvent t'aider... Comme te l'explique Dfeldmann, en calculant le produit scalaire u.(u ∧ ( v ∧ w )) qui est nul, on obtient α u.v + β u.w = 0 qui indique une colinéarité entre le couple (α, β) et le couple (u.w, -u.v) d'où l'existence d'un λ tel que α = λu.w et β=-λ u.v (il faut distinguer deux cas u orthogonal ou non à l'espace vectoriel engendré par v et w). Cependant ce λ, a priori, dépend de u, v et w. L'idée est alors d'utiliser un résultat, lui-même un peu long à démontrer, qui est que si f et g sont deux applications linéaires et que, pour tout vecteur u, il existe un λ tel que f(u)=λg(u), il existe un λ, indépendant de u, tel que pour tout u, f(u)=λ g(u) (tu as un exemple de la démarche dans l'exercice 25 de ce document dans le cas où g est l'identité). Le double produit vectoriel et l'application (u,v,w) -> u.w v - u.v w étant linéaires en u, v et w, il existe un λ indépendant de u, v et w vérifiant cette égalité. C'est du moins ce que je crois deviner des étapes de l'exercice mis en source. Je pense comme toi qu'on ne devrait pas donner ainsi ce qui ne sont que des esquisses de démonstrations sans donner un lien vers une démonstration détaillée. Si quelqu'un peut ajouter une bonne source, cela améliorerait l'article. HB (discuter) 21 février 2019 à 09:32 (CET)
Bonjour, Notification 78.248.204.134 et HB :Tout d'abord, concernant cette démonstration précise, insérée dans cet article par Anne Bauval, elle provient d'une série d'exercices proposés par Robert Ferréol (et donnés apparemment sans corrigé) ; la confiance, ici, provient du contexte (même si j'ai d'abord cru à une erreur d'énoncé). Le résultat est certainement correct, et l'idée devrait être suffisante pour le lecteur concerné. Plus généralement, il est essentiel pour l'encyclopédie que tout résultat (plus généralement toute affirmation) soit mise au dessus de tout doute raisonnable, le plus souvent par référence à des sources de qualité, mais en revanche il serait absurde de demander à l'« honnête homme » de pouvoir retrouver par lui-même ou même simplement contrôler la validité de raisonnements que des experts ont mis des décennies à produire, que ce soit le grand théorème de Fermat ou, mettons, le théorème de Robertson-Seymour : dans des cas de ce genre, on est déjà heureux de pouvoir amener le lecteur à une compréhension claire de l'énoncé du résultat, et peut-être de certaines des idées essentielles intervenues dans la démonstration.--Dfeldmann (discuter) 21 février 2019 à 11:13 (CET)
L'indication répétée par HB (si f et g sont deux applications linéaires et si, pour tout vecteur u, f(u) est colinéaire à g(u), alors il existe λ tel que pour tout u, f(u) = λ g(u)) était déjà fournie via le lien « λ est indépendant de u, v et w ». Anne, 12 h 01
Ah oui, pardon, je n'avais pas remarqué le lien bleu. Dernier point : pour montrer que λ=1, il me semble que dire qu'on travaille sur une base orthonormé directe (u, v, w) peut entrainer une erreur d'interprétation car on ne calculera pas le produit u ∧ ( v ∧ w ) (nul) mais le produit v ∧ ( u ∧ v ).HB (discuter) 21 février 2019 à 13:14 (CET)