Discussion:Plus grand commun diviseur

puristes

La définition donnée ici n'est pas vraiment celle utilisée en mathématiques. Pensez-vous qu'il faut laisser en l'état ou ajouter une définition pour les puristes?

Bourbaki 28 janvier 2006 à 14:39 (CET)

apparemment certains ne comprennent pas la remarque sur le pgcd(0,0).

Je pense qu'il faudrait créer un article Plus grand commun diviseur (mathématiques élémentaires) qui s'adresserait au terminales, avec la définition du plus grand entier tel que ... en leur expliquant que pour certains il n'existe pas de pgcd de 0 et 0. Mais que c'est une histoire de convention et que l'on peut très bien poser pgcd(0, 0)=0.

Et puis je n'ai pas vu la définition du pgcd des entiers relatifs. Il serait commode de la mettre dans l'article mathématiques élémentaires. Qu'en pensez~-vous ? Oxyde 2 avril 2006 à 20:56 (CEST)

Bon je n'ai rien dit l'article existe déjà. Il faudrait tout simplement le compléter.

Et dans cet article il faudrait en effet donner une définition du pgcd plus générale Oxyde 2 avril 2006 à 20:59 (CEST)

C'est fait. Mais en revanche, l'autre définition, copiée sur l'article américain, me semble incohérente. Je vais demander de l'aide à Peps. Bourbaki 3 avril 2006 à 21:34 (CEST)

PGCD vs PGDC

J'avais rajouté dans l'article que la forme PGDC est également employée par certaines personnes mais que le plus souvent c'est la forme PGCD qui est employé sans me mouiller car je n'en n'avais pas expliqué la raison (raisons mystiques ;-)) tout simplement parce que je ne la connais pas. Cependant je m'étais également émis l'hypothèse que cela pouvait provenir de la forme anglaise en:GCD, ce qui a été rajouté ensuite par Bourbaki. Mais quand est-il vraiment ? Est-ce également une forte supposition ou cela est-il vérifiable, j'ai eu du mal à trouver des renseignements à ce sujet-là sur d'autres sites... Cette hypothèse semble être assez cohérente mais ensuite il faudrait aussi expliquer le PPCM qui doit désigner Plus Petit Multiple Commun en français (donc PPMC en théorie). Ce qui semble un peu étonnant aussi c'est que le PGCD est une notion qui existe depuis très longtemps dans l'histoire des mathématiques donc a priori je vois pas trop pourquoi les français auraient été calqué la formule anglaise à une période où c'était plutôt le phénomène inverse qui se produisait... Peut-être que cette tournure était tout à fait correcte il y a plusieurs dizaines d'années en français, pourquoi pas ? Voilà tout ça pour dire que je pense qu'il y a encore une petite zone d'ombre qu'il serait bien d'éclaircir. Si vous en savez plus sur l'histoire de ce nom, n'hésitez pas à nous en faire part. 16@r 20 mai 2006 à 14:58 (CEST)

Qu'importe je trouve que ce genre de débat sur les notations ne sert à rien. Par contre je n'ai jamais entendu dire pgdc et je pense que si pgcd se rapporte à gcd alors dans ce cas il faut en être sûr. Oxyde 20 mai 2006 à 16:14 (CEST)

L'origine anglo-saxonne du nom finalement retenu, je l'avais lu dans un journal de maths à destination des collégiens (Hypercube) quand j'étais petit. Je n'ai moi non plus jamais entendu ou lu PGDC avant votre intervention. Si la notion est assez ancienne (je crois qu'une notion voisine apparaissait chez Euclide… et tous les résultats utiles sur le PGCD étaient connus de Gauss) sa réintroduction scolaire est récente.

Moi non plus je ne suis pas satisfait de ce nom. Mais bon, si les rédacteurs d'Hypercube sont d'accord avec nous, mieux vaut écrire ça que "raisons mystiques". En tout cas merci beaucoup d'avoir pensé à parler de ça. Bourbaki 21 mai 2006 à 11:23 (CEST)

Oh, rions encore un peu sur l'éthymologie: http://blogs.nouvelobs.com/suzy/ Va falloir bien préciser de quoi on parle… parce que Plus grand commun diviseur et Plus grand commun dénominateur, il faut être tolérant pour dire que c'est la même chose. Bourbaki 21 mai 2006 à 11:33 (CEST)

Euh, en fait, je viens de vérifier le Hypercube: honte sur moi, ce n'est pas de l'anglais mais de l'ancien français. Bourbaki 21 mai 2006 à 17:55 (CEST)

Je n'ai pas de source, mais si ça peut aider la recherche : d'après les profs de maths que j'avais au collège, c'est pour la prononciation (pgDc ça racle un peu). Dalc'husted (discuter) 8 janvier 2022 à 15:21 (CET)

commentaire

Eviddement, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de le relation d'ordre "supérieur ou inférieur", mais ce n'est vrai que pour le cas des nombres. Et encore, le cas de pgcd(0,0), que nous verrons plus loin, contredit cette assertion.

jez corrige en

Evidement, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de le relation d'ordre "inférieur ou égal", mais ce n'est vrai que pour le cas des nombres.

En effet, 0 est le plus grand élément de N pour la relation de divisibilité, donc il n'y a pas de problème.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Robert FERREOL (discuter), le 9 juin 2006.

Je voulais justement dire que le problème, c'est pour celui qui croit que le PGCD est le plus grand au sens 5>0. Or 5 est un diviseur de 0 et de 0, mais 0 est le PGCD de 0 et de 0.

Bon, on peut certes rayer ce dernier passage.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Barraki (discuter), le 11 juin 2006.

Ces deux phrases (introduites en mai 2006 et figurant aujourd'hui dans le § Quelques précisions sur « plus grand ») sont bienvenues mais la première est mal tournée :

• « supérieur ou inférieur » n'est pas une relation d'ordre, et toute relation d'ordre peut être baptisée, au choix, « supérieur » ou « inférieur » donc cette précision n'en est pas une.
• ce n'est vrai que pour le cas des nombres ne veut rien dire : pour être vrai ou faux il faut d'abord avoir un sens, or l'assertion n'a de sens que pour la relation d'ordre habituelle, donc sur les nombres.

Je remplace par

Évidemment, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de la relation d'ordre habituelle sur les nombres, mais cette assertion n'aura plus de sens dans des anneaux plus généraux, comme les anneaux de polynômes — et encore, même dans l'anneau des entiers, elle est contredite dans le cas de PGCD(0, 0), que nous examinerons plus loin.

Anne (discuter) 15 août 2014 à 09:45 (CEST)

Plan et accessibilité

Une IP vient de rajouter en tête d'article une recherche de pgcd par l'algorithme d'Euclide. J'ai supprimé provisoirement son ajout mais son intervention pose une vraie question : le calcul d'un pgcd, les propriétés des pgcd dans Z sont en fin d'article, il n'y a nulle part un exemple du pgcd de deux entiers, la partie sur les entiers commence immédiatement sur le pgcd d'une liste et est inaccessible au profane dans son formalisme. Or le pgcd est une notion grand public (vu en troisième) il serait bon que l'on soigne l'accessibilité de l'article. Je propose donc de modifier le plan et de commencer par tout ce qui a trait au pgcd de deux entiers avant d'élargir le débat au pgcd d'une liste et le pgcd sur un anneau. Qu'en pensez-vous ? HB (d) 24 septembre 2008 à 17:30 (CEST)

Peut-être qu'il faudrait que l'intro recommande franchement d'aller voir Plus grand commun diviseur (mathématiques élémentaires) pour tous ceux qui n'ont pas besoin des propriétés générales.

J'ai permuté quelques paragraphes, ça va déjà mieux. Faut-il descendre aussi les explications sur le nom ? _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 24 septembre 2008 à 19:29 (CEST)

Arf ! j'avais oublié le projet mathématiques élémentaires! Oui, il faut explicitement indiquer l'article élémentaire en introduction ce qui permettrait de développer dans celui-ci l'aspect théorique. HB (d) 25 septembre 2008 à 08:28 (CEST)

Problème avec les généralisations

En relisant attentivement l'article, je suis très gênée par les généralisations données et par leur ordre d'apparition. En effet, la seconde rencontre des personnes avec le pgcd concerne (après celui des entiers) les pgcd de polynômes, puis ensuite le pgcd de deux éléments dans un anneau principal en montrant que lorsque l'anneau n'est pas principal l'existence d'un pgcd n'est pas garantie. Or, je vois apparaître très tôt des pgcd dont je n'ai jamais entendu parler comme le pgcd de fractions, de réels ou dans un anneau non unitaire. J'admets volontiers que ce que j'ignore puisse exister mais ces notions sont alors pour le moins marginales et nécessiteraient d'être référencées. Il me semble par ailleurs que si ces notions s'avèrent réellement utilisées, elles sont moins courantes que les deux que j'ai citées précédemment et le plan devrait alors les placer plutôt en fin d'article. Barraki, peux-tu me dire dans quel domaine des mathématiques on est amené à travailler sur le pgcd de deux réels comme défini dans l'article, cela excite ma curiosité. Merci HB (d) 25 septembre 2008 à 08:41 (CEST)

Pour les fractions, il est possible que ce soit utile quand on cherche les coefficients à mettre en combinant des réactions chimiques. Pour les réels, franchement, je n'y vois aucun intérêt. Mais j'ai testé par curiosité ce que répondent les calculatrices et les logiciels de calcul symbolique. C'est assez paradoxal, mais les définitions que je donne, je les ai trouvées moi-même par induction depuis ces résultats ; pourtant ce n'est pas un TI puisque les définitions que je donne sont réellement utilisées !

Pour les anneaux non unitaires, là j'avoue que cette extension-là est peut-être à supprimer comme TI. Mais bon, le problème de savoir ce que signifie "diviser" dans un anneau non-unitaire est, lui, très connu. Je me suis contenté d'en tirer les conclusions évidentes pour le PGCD. C'était aussi un moyen de montrer la puissance de la définition par les idéaux.

Le pire du pire, c'est le PGCD dans les anneaux non commutatifs. Je n'ai même pas cherché à expliquer ce que ça veut dire parce que j'avais trop peur d'inverser la droite et la gauche.

Par exemple, en notant les matrices avec une virgule pour séparer les éléments d'une même ligne, un point-virgule entre deux lignes.

Après recherche des idéaux, je peux dire que [0,1;0,0] et [0,0;0,1] admettent comme PGCG [0,1;0,0] d'un côté, [1,0;0,1] de l'autre. Mais je ne sais pas ce qui est la droite, ce qui est la gauche.

Et ça sert à quoi ? Eh bien le seul usage que j'en ai trouvé est de faire des sujets monstrueux d'examen. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 25 septembre 2008 à 14:22 (CEST)

Ah, pour les anneaux non-unitaires, j'ai une source montrant que mon TI a bien consisté à reconstituer des résultats canoniques [1]. L'honneur est sauf. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 25 septembre 2008 à 19:32 (CEST)

Merci pour la source. Quant au cas de R et Q, s'il n'y a pas de définition canonique, on peut les glisser en remarque sur le comportement des calculatrices et des logiciels de calculs formels (peux-tu donner des exemples de logiciels ou de calculatrice se comportant ainsi, cela ferait plus sérieux) . Les choses se précisent.... quant au sadisme des sujets d'examen, je me contente moi de demander le pgcd de 2ⁿ-1 et 2^m-1 HB (d) 25 septembre 2008 à 20:17 (CEST)

Je sais plus où j'avais trouvé un sujet d'exam où il fallait démontrer à propos d'un anneau non-commutatifs que tout couple d'éléments admettait un PGCD à gauche. Peut-être un concours de l'ENS.

Pour Q et R : . Maintenant que tu m'y fais penser, je crois me souvenir d'ailleurs que les Casio avaient aussi des réponses très pertinentes sur les PGCD de complexes (les TI, elles, démissionnent). Par exemple PGCD(6,4i)=2. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 25 septembre 2008 à 21:31 (CEST)

vu plus haut ?

Dans la rubrique 'Cas du zéro', il est dit : "Pour la justifier, il faut adopter la propriété (a) + (b) = (pgcd(a,b)) (vraie dans un anneau principal, comme nous l'avons vu plus haut) comme définition du PCGD (à un choix parmi les éléments associés près). "

J'ai beau chercher (plus haut bien sûr), je ne vois pas. Que signifient ces parenthèses ? --Zandr4 (d) 16 avril 2009 à 21:54 (CEST)

Paragraphes inversés après écriture. C'est ici _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 16 avril 2009 à 22:04 (CEST)

Merci --Zandr4 (d) 16 avril 2009 à 23:26 (CEST)

Ben, de rien, c'était de ma faute. _{BOCTAOE. Ou pas.} Barraki Retiens ton souffle! 17 avril 2009 à 20:51 (CEST)

à recycler

Ce bandeau a été posé le 31 décembre 2007, malheureusement sans justifications ici. Comme c'est aussi mon avis j'en donne quelques unes (en vrac) :

• la démarche "expérimentale" sur logiciel de calcul formel ou calculatrice (utilisée dans plusieurs sections) n'a pas grand sens (comment interpréter ce qui ne peut être que des artefacts des choix de programmation ?), et ne peut constituer une source.
• extension aux rationnels et réels (mentionnée dès l'intro), deux sont proposées, l'une est celle classique sur les anneaux et sans intérêt pour les corps, l'autre (pour les rationnels) ressemble à une extension à Z^2, pas de source.
• gloses non sourcées sur les dénominations, notations ...
• un problème d'organisation en général, à commencer par l'absence d'une définition uniquement par la divisibilité (présente sur PGCD_de_nombres_entiers Proz (d) 19 février 2012 à 12:53 (CET)

Multiple des Communs Diviseurs

Organigramme  d’un  algorithme
de  calcul  du  PGCD  de  deux
entiers  naturels  r  et  s,   par
soustractions  successives.

Parler du “Plus Grand” des “Communs Diviseurs” crée problème.  Remplacer “Plus Grand” par “Multiple des” ne dit pas tout,  certes.  Mais une incohérence est pire qu’un sous‑entendu.  Voici des mots pour néophytes.  Comme tout entier naturel,  zéro est un multiple et un diviseur de lui‑même,  et l’affirmer n’est pas autoriser une division par zéro.  Zéro est le seul multiple de lui‑même,  et tout entier naturel est un diviseur de zéro.  Zéro est “Le Multiple” de tous les entiers naturels.

En mots convenables au niveau supérieur :   pour la divisibilité,  la borne inférieure d’un ensemble d’éléments naturels est leur commun diviseur,  multiple de tous leurs diviseurs communs. 

Chercher l’ensemble des Communs Diviseurs de deux naturels donnés aboutit au seul nombre “multiple” de ces diviseurs communs,  qui est lui‑même diviseur de l’un et l’autre nombre donné.  Corriger une appellation ancienne serait folle prétention.  Signalons pourtant un problème créé de toutes pièces par l’usage,  et quelques obscurités flagrantes de l’article actuel.  D’après son introduction,   …le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls…   Plus loin dans une section,   …une famille (finie ou infinie) d'entiers relatifs $a_{i}$ non tous nuls…   Et malgré ces “ non nuls ”,  nous lisons un peu plus loin   le cas de $\operatorname {PGCD} (0,0)$, que nous examinerons plus loin.   Mieux nous exprimer sans nous contredire est possible.

Par exemple,  une construction à la règle et au compas ne s’appelle pas “à la règle et au compas et sans pied‑de‑biche,  les outils étant considérés idéalement sans défauts”.  J’exagère,  oui,  mais des sous‑entendus il y en a toujours.  Entre nous,  un nom exact aurait pour sigle “MCD”,  pour sûr l’article s’en passera…  Entre nous,  avant de parler du “MCD” de plusieurs,  et même d’un ensemble infini de nombres naturels (pourquoi une “famille” ?),  disons d’abord qu’il s’agit d’une opération binaire,  que nous pourrions noter ∧ comme l’opérateur logique “et”,  tandis que ∨ désignerait l’opérateur “DCM”,  au lieu de PPCM…

Et voici affichée une possible illustration de l’article.
  Arthur Baelde (discussion) 28 avril 2024 à 17:37 (CEST)

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Au lieu de donner le premier exemple dans l’introduction,  je propose de le développer dans une 1 ^ère section intitulée “Exemples de fractions simplifiées”.  Le texte suivant introduirait l’article.

Fondé sur la divisibilité,  le Plus Grand Commun Diviseur est d’abord une opération binaire sur l’ensemble  ℕ  des entiers naturels,  souvent utilisée pour simplifier une fraction  $\;{\frac {r}{\,s\,}}.\;$  En divisant ses deux termes par le PGCD de leurs valeurs absolues,  on obtient une fraction irréductible égale,  autrement dit une fraction égale dont les deux termes sont premiers entre eux.

C’est aussi une opération qui associe à toute partie P  de ℕ  le nombre à la fois commun diviseur de tous les éléments de P,  et multiple de tous ses diviseurs communs.  Autrement dit,  le PGCD est la borne inférieure pour cette relation d'ordre appelée divisibilité.  Et cette deuxième définition est conforme à la première quand le sous‑ensemble P  est une paire  {r,  s}.  Considérer  ℕ  au complet comme l’ensemble des multiples et des diviseurs de l’ensemble vide ∅,  — inscrivons‑le   ℳ(∅) = ℔(∅) = ℕ  —,  permet d’éviter des exceptions dans les énoncés des propriétés.  Le PGCD de l’ensemble vide est alors zéro :   PGCD(∅) = 0,  le multiple de tous les entiers naturels.

En arithmétique élémentaire,  la notion de PGCD se généralise à l’ensemble des entiers relatifs.  Elle s’étend encore à des ensembles avec divisibilité,  tel que l’anneau euclidien des polynômes sur un corps commutatif.  On peut aussi définir un PGCD dans un anneau à PGCD comme un anneau factoriel.

  Arthur Baelde (discussion) 30 avril 2024 à 15:16 (CEST)

Beaucoup trop compliqué pour le commun des mortels. Robert FERREOL (discuter) 30 avril 2024 à 22:15 (CEST)

Juste après l’introduction,  la section  “Exemples de fractions simplifiées”  s’adressera aux “commun(e)s des mortel(le)s”.
  Arthur Baelde (discussion) 2 mai 2024 à 13:24 (CEST)

Je partage l'avis de Robert FERREOL sur l'aspect trop compliqué de cette proposition. Je développe ci-dessous quelques objections

• l'article n'a pas vocation à s'éterniser sur le cas des entiers puisqu'un article leur est dédié et indiqué en tête de RI : Plus grand commun diviseur de nombres entiers. Il faudrait donc réduire drastiquement la partie du RI consacré aux entiers. Une phrase et un exemple comme dans le RI actuel suffit
• En particulier l'illustration qui se limite au cas de deux entiers est une vision restrictive du contenu de l'article. L'article Plus grand commun diviseur de nombres entiers possède d'ailleurs déjà un schéma analogue dans la section qui va bien (algorithme d'Euclide).
• Les considérations sur l'ensemble vide ne me semble pas à développer dans le RI qui se doit de rester accessible et de refléter les préoccupations des sources (où l'ensemble vide est très rarement évoqué)
• évoquer le pgcd comme une opération binaire ne reflète pas non plus les sources (dans le cas élémentaire, c'est inaccessible - dans le cas des anneaux, ce n'est pas une opération binaire car un pgcd est défini à un inversible près)

Un point cependant qui me semble à mettre effectivement dans le RI, c'est la définition pour les anneaux : UN pgcd de deux éléments a et b d'un anneau est un nombre d vérifiant les conditions : d divise a et b et d est multiple de tout autre diviseur commun à a et b

HB (discuter) 2 mai 2024 à 18:44 (CEST)