Discussion:Opérateur adjoint

Quatre remarques

1. L'article me semble d'importance moyenne. J'aurais préféré qu'il se nomme Endomorphisme adjoint et que l'on définisse des endomorphismes « adjoints l'un de l'autre ».
2. L'unicité et l'existence doivent être traitées avant l'introduction de la notation étoilée.
3. La dimension infinie n'est essentiellement pas traitée.
4. Il serait important de parler de dualité et de morphisme dual.

Ambigraphe, le 16 décembre 2007

1. Personnellement je préfère Opérateur adjoint, endomorphisme est en général un terme utilisé en dimension finie.
2. La définition est très restrictive. Le cas général n'est pas celui d'un préhilbertien, mais de deux espaces munis d'un produit scalaire (souvent un Banach réflexif et son dual). Donner une définition restreinte et ne traiter que la dimension finie fait perdre une large partie de l'intérêt de la notion.
3. Il faut bien évidemment traiter les grandes isométries : entre un opérateur et son adjoint et un opérateur et la forme sesquilinéaire (ou bilinéaire dans le cas réel) associée. La propriété importante n'est pas l'existence de l'adjoint mais le fait que l'application qui à un opérateur associe un adjoint est source de multiples propriétés : injectivité systématique convenablement traité même si les hypothèses nécessaires ne sont pas clairement exposées, la surjectivité est une conséquence topologique vérifiée dans un contexte beaucoup plus général que la dimension finie avec une démonstration beaucoup plus simple (cf Rudin, Lang ou Aubin), les caractères linéaire et isométrique ne sont pas traités alors qu'ils sont importants). Les deux applications qui, à un opérateur associe une forme sesquilinéaire (ou bilinéaire dans le cas réel) sont évidemment essentiels.
4. La grande division de l'article n'est pas dimension finie versus dimension infinie mais la topologie du dual (cf le Rudin ou le Lang).
5. Dans le cas général, les propriétés d'orthogonalités s'appliquent mais de manière plus fine que celles actuellement indiquées.
6. Il manque les propriétés de base qui rendent la notion si passionnante comme le comportement de la forme quadratique associée qui n'est une propriété intéressante dans un contexte beaucoup plus large que la dimension finie et les endomorphismes orthogonaux.Jean-Luc W (d) 1 janvier 2008

Notations

Bonjour: Dans l'article concerné sur l'opérateur adjoint au paragraphe "préhilbertien" on dit que le produit scalaire sera noté ( , ). Quelques lignes plus tard on emploie la notation < , > . S'agit il d'un autre produit scalaire? La même observation se poursuit par la suite dans l'article avec l'apparition de la notation ( / ). Si c'est le même produit scalaire, il serait alors utile d'employer une seule et même écriture. Merci de bien vouloir me renseigner --109.203.236.249 (d) 16 mai 2011 à 06:16 (CEST)

J'ai uniformisé en (⋅|⋅), utilisé par exemple par Choquet, et qui évite l'amalgame avec 〈⋅, ⋅〉 dont il est question pour les Banach. Anne (discuter) 7 décembre 2013 à 09:54 (CET)

Incohérence gauche droite

Dans l'introduction il est dit "Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur A de la partie droite du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie gauche du produit scalaire".

Puis dans la définition il est choisi

$(a(x)|y)=(x|a^{*}(y)).$

Ce n'est pas cohérent il me semble ! Je ne sais pas si il y a une préférence ? Si personne ne répond (vieil article), je change l'intro.

De même on pourrait écrire partout "A" plutôt que "a". — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Sbougnoux (discuter), le 20 septembre 2019 à 15:47 (CEST)

opérateur borné ou non ?

Dans la section Espace de Hilbert : existence et unicité, il est écrit que tout opérateur sur H admet un (unique) adjoint. Mais la preuve qui suit se restreint au cas d'un opérateur borné. Faut-il préciser cette hypothèse ?

Anareth (discuter) 19 juillet 2021

Fait, merci. Anne, 25/7