Discussion:Module sur un anneau

Suppression

J'ai supprimé du corps de l'article cette partie

Les notions de module à gauche et de module à droite ne sont pas confondues car le troisième axiome est différent pour les modules à gauche et les modules à droite, sauf si A est commutatif. Néanmoins si on désigne par Aopp l'anneau opposé à A (i.e l'anneau A muni de la loi multiplicative * opposée : a*b = b.a ), on ramène l'étude des A-modules à droite à celle des Aopp-modules à gauche.)

Qui me semble pour le moins obscure, en particulier que signifie l'affirmation "le troisième axiome est différent pour les modules à gauche et les modules à droite" ?. Ensuite "on ramène l'étude des A-modules à droite à celle des Aopp-modules à gauche" par quel isomorphisme?

J'espère que c'est mieux comme ça. Pas facile d'être clair ! --Lyoa 26 décembre 2005 à 16:29 (CET)

Merci, oui plus clair ainsi. HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

Ben moi je ne comprends pas. Quelque chose m'échappe. Les deux premiers axiomes ne sont pas les mêmes non plus ! Je ne vois pas ce que le troisième axiome a de spécial wku2m5rr (d) 20 octobre 2012 à 05:25 (CEST)

Pas facile d'être plus clair que Lyoa mais l'idée est la suivante. On pourrait penser que l'histoire de module à droite et module à gauche n'est qu'une question de notation : decider de noter l'image du couple (a,x), a * x ou x * a ne change pas fondamentalement le sens des deux premiers axiomes : l'image de (a+b,x) restera toujours l'image de (a,x) + l'image de (b,x). Mais le dernier axiome lui est fondamentalement changé: l'image de (ab,x) se trouve être l'image de (a, image de (b,x)) pour le module à gauche alors que, pour le module à droite, l'image de (ab,x) se trouve être l'image de (b, image de (a,x))

par exemple prenons pour M un groupe et pour A l'ensemble des endomorphismes de M muni de l'addition et de la composition des fonctions. On pourrait définir la loi externe par x *f =f(x). les axiomes 1 et 2 seraient vérifiés mais pas l'axiome 3 : x*(f o g) = f [g(x)] = [g(x)] *f = (x*g)*f alors que l'axiome 3 aurait du permettre d'écrire x*(f o g)=(x*f)*g. Bref, dans cet exemple, M est un A-module à gauche mais ne peut pas être un A-module à droite sauf si on change la seconde loi de A.

euh... je ne sais pas si j'ai réussi à être claire, mais j'aurais essayé. HB (d) 20 octobre 2012 à 10:11 (CEST)

Euh... ah oui, j'ai fini par comprendre. J'étais bloqué sur une sorte de comparaison avec "l'élément neutre à gauche ou à droite" mais c'est différent puisqu'alors, c'est une loi interne tandis que pour le module, c'est une loi de composition externe. Donc les notions de "commutativité" et de "non-commutativité" n'ont pas de sens. Moui, bon, enfin, je me comprends. Bon, d'accord. wku2m5rr (d) 20 octobre 2012 à 20:54 (CEST)

Exemple de A-module

Il est écrit

"Si M un groupe abélien et si f est une fonction de M dans M, alors on peut définir la loi externe $f\cdot x=f(x)$ qui confère à M une structure de module sur $M^{M}$".

L'ensemble $M^{M}$ est l'ensemble des applications de M dans M (et non l'ensemble des fonctions). Pourrait-on m'indiquer quelles sont les opérations qui confèrent à $M^{M}$ une structure d'anneau ? La première loi est simple : (f + g)(x) = f(x) + g(x) mais la seconde .... HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

bimodule

Il est écrit

"Un bimodule est un ensemble M muni à la fois d'une structure de module à gauche sur un anneau $A_{1}$ et d'une structure de module à droite sur un anneau $A_{2}$"

Il manque la condition suivante : pour tous a de $A_{1}$, x de M, b de $A_{2}$, on a (a.x).b = a.(x.b). HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

Je crois que pour un bimodule, la condition (a.x).b = a.(x.b) n'est pas obligatoire, mais que si c'est le cas, on dit que les lois sont permutables (ou quelque chose comme ça, il faudrait que je vérifie. Philippe% 28 décembre 2005 à 11:37 (CET)

Il est écrit

"Par exemple, l'ensemble des fonctions $E^{F}$ d'un anneau E dans un anneau F est simultanément muni d'une structure de module à gauche sur $F^{F}$ via la loi $(f,g)\mapsto f\circ g$, et d'une structure de module à droite sur $E^{E}$ via la loi $(f,g)\mapsto g\circ f$".

Je suppose qu'il s'agit là aussi de l'ensemble des applications (et non l'ensemble des fonctions). Je veux bien concevoir que $F^{F}$ muni de l'addition et la multiplication induites de celle de l'anneau F ( somme (f+g)(x) = f(x) + g(x) , produit (f.g)(x) = f(x).g(x) ) soit un anneau mais peut-on m'expliquer pourquoi $E^{F}$ est un $F^{F}$-module ?HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

Représentation d'un anneau sur un groupe

Je ne connais que des représentations de groupe sur un espace vectoriel: application de G dans le groupe linéaire de V. C'est d'ailleurs vers ce type de représentation que pointe le lien. La personne ayant mis l'information sur la représentation d'un anneau sur un groupe pourrait-elle citer ses sources (autre que la traduction de l'article anglais) et éventuellement compléter en créant un article sur la théorie de la représentation. HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)

J'avoue ne pas avoir beaucoup pratiqué la représentation dans autre chose que des espaces vectoriels, mais je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas en parler. Je regarderai éventuellement quelques détails dès que j'aurai accès à une bibliothèque digne de ce nom. En attendant, j'ai un peu précisé le lien avec le lien que j'avais rajouté.--Lyoa 31 décembre 2005 à 11:57 (CET)

Réponse à mes questions et avertissement

• Concernant la structure d'anneau de $M^{M}$ , je doute fortement de son existence. Mais ce dont je suis sûre c'est que l'opération définie de $M^{M}\times M$ dans M par $(f,x)\mapsto f(x)$ ne munit pas M d'une structure de $M^{M}$-module. En effet f(x + y) a peu de chance de valoir f(x) + f(y) . Sauf si f est un morphisme de groupe. Je me demande si l'auteur ne confond (?) pas fonction, application et ... morphisme.
• Concernant la structure de $F^{F}$-module à gauche de $E^{F}$, j'émets les mêmes réserves quant à la vérification du premier axiome et le même soupçon sur la confusion entre fonction/ application/morphisme.
• Concernant la condition du bimodule, il suffit de taper bimodule sur Google ou d'ouvrir le Mac-Lane et Birkhoff pour voir que cette condition est absolument nécessaire.
• Concernant l'exemple sur l'espace euclidien, je suppose qu'il ne peut pas s'agir de l'espace affine euclidien (sur lequel il n'est pas usuel de définir une addition de points...), qu'il s'agit plus probablement de l'espace vectoriel et qu'enfin la notion de distance (euclidien) est complètement superflue.

Je corrige donc dans l'article.

Ayant déjà corrigé 5 erreurs dans la partie de l'article qui restait à ma portée, et ne pouvant pas corriger le reste qui se place à un niveau d'abstraction plus élevé, je mets en garde les lecteurs potentiels contre d'éventuelles erreurs sur le reste de l'article. HB 30 décembre 2005 à 18:51 (CET)

Tout à fait d'accord sur les corrections effectuées. En ce qui concerne la structure de $E^{F}$, je pense qu'il vaudrait mieux faire un petit paragraphe sur les différentes structures de module de Hom(E,F).

J'ai lu le reste plus en détail, je n'y vois pas d'erreur, même si je n'aurais sans doute pas présenté les choses de la même façon. J'ai quand même un léger doute sur la terminologie ; je vérifierai dans la semaine.--Lyoa 31 décembre 2005 à 12:20 (CET)

Je suis d'accord avec les corrections effectuées. (surtout en ce qui concerne la "structure" de module sur un anneau du type $M^{M}$, qui résulte d'une confusion (impardonnable) entre application et morphisme), par contre on peut définir une structure de module sur $X^{A}$ où X est un ensemble et A un anneau, à l'instar de ce qui se passe dans les espaces vectoriels.

Ne s'agirait-il pas plutôt d'une structure de A-module sur $A^{X}$ ? HB 31 décembre 2005 à 14:19 (CET)

Oui effectivement 84.6.84.249 31 décembre 2005 à 14:56 (CET)

• Après une relecture (on va dire moins "faite à la va vite") je n'ai pas vu d'autres erreurs. A HB qui trouve que la suite est trop abstraite, j'avoue que je me suis basé sur le deuxième tome d'algèbre de Nicolas Bourbaki... (C'est vrai, ce n'est pas le nec plus ultra de la pédagogie, mais ce que j'ai écrit est déjà mille fois plus lisible.)
• Le lien avec la théorie de la représentation est à plus proprement parler une analogie, puisque la structure de module se résume à la connaissance d'un groupe abélien (M,+) est d'un morphisme $A\mapsto End(M)$. (la représentation d'un groupe est la donnée d'un morphisme de G dans GLn(E), ce qui est un type différent). (le lien wiki vers représentation des groupes n'avait aucune raison d'être là).
• Pour la remarque sur l'espace euclidien, j'entendais par là l'espace vectoriel euclidien, que l'on identifie de manière abusive avec l'espace des matrices colonnes, la loi $(A,X)\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )\times \mathbb {R} ^{n}\mapsto AX$ marche bien.
• La condition (a.x).b = a.(x.b) est dans la définition d'un bimodule (je croyais que c'était facultatif et je cherchais le nom de cette propriété, en fait, ça s'appelle la compatibilité)

Voilà, je pense qu'on peut rendre cette page encore plus lisible sans en changer toute la structure, en agrémentant de quelques exemples par ci par là. Mais si il y a des désaccords, vu qu'après tout on travaille sur un projet encyclopédique, il vaut mieux en faire part tout de suite. Philippe% 31 décembre 2005 à 13:34 (CET)

Ajout

J'ai ajouté les notions de module simple et de module semi-simple avec quelques théorème. A suivre... ? PDuceux février 2006

riche ou pauvre?

Je ne suis pas d'accord avec l'idée de richesse ou de pauvreté de la structure de module par rapport à celle d'espace vectoriel. La structure est plus pauvre (puisque les espaces vectoriels sont des modules, mais pas le contraire), mais la théorie est plus riche! Sylvie Martin

Tu as tout à fait raison. Je préfère d'ailleurs distinguer pour une structure les notions de richesse, de force et de complexité. La structure d'espace vectoriel est plus forte (il y a plus de conditions donc plus de résultats valables), aussi riche (la structure de module sous-jacente à un espace vectoriel ne contient pas moins d'information) mais moins complexe (ce que tu formules par le fait que la théorie des modules est plus riche). Ambigraphe, le 27 février 2008 à 08:41 (CET)

Commutativité du groupe

Vient d'être supprimée la note que la condition de commutativité de l'addition dans G était inutile car elle se déduit des deux distributivités de la loi externe en développant (1+1)(x+y). Or il me semble que cette information est pertinente

• (1+1)(x+y) = (1+1)x + (1+1)y= x + x + y + y
• (1+1)(x+y) = (x+y) + (x+y) = x + y + x + y

en égalisant les deux expressions on obtient immédiatement par élimination des termes extrêmes l'égalité x + y = y + x. Me trompé-je ? Je suis donc d'avis, si je ne commets pas d'erreur, de remettre cette petite note. HB (d) 18 juillet 2012 à 23:54 (CEST)

J'ai remis « ma » petite note du 4/2/11, en ajoutant une ref. Il y a une note analogue de Touriste du 3/2/11 dans l'ex « Anneau (mathématiques) » qui est devenu Anneau unitaire, avec ton calcul. Anne (d) 19 juillet 2012 à 01:04 (CEST)

Section « Applications des modules »

Cette section, introduite le 24 févier 2008 (voir Spécial:Diff/26674606) me semble incompréhensible et inutile. Je la supprimerais. Marvoir (discuter) 21 novembre 2015 à 12:58 (CET)

Définition d'un module à droite

L'article dit :

« Ce qui a été défini ici est un A-module à gauche, car, dans la loi externe, les éléments de A sont placés à gauche. On pourra définir de même un A-module à droite.

Il est important de remarquer que les structures de module à gauche et à droite ne diffèrent pas uniquement par leur écriture : si les deux premiers axiomes sont les mêmes, le troisième s'écrit $x\cdot (ba)=(x\cdot b)\cdot a$. Si l'on transcrivait naïvement cette égalité en écrivant les éléments de À gauche, on obtiendrait $(ba)\cdot x=a\cdot (b\cdot x)$, ce qui, si A n'est pas commutatif, ne revient pas au même que l'axiome qui donne la structure de module à gauche.

Par contre, le petit raisonnement ci-dessus montre que, si l'on « inverse » la loi de A, un module à droite peut être vu comme un module à gauche. Plus précisément, notons A^op l'anneau opposé à A, c'est-à-dire le groupe abélien A muni de la multiplication définie par a^opb^op = ba, si a^op et b^op désignent a et b vus comme éléments de A^op. Alors, si M est un A-module à gauche, M peut être vu comme un A^op-module à droite, où l'action de A^op est définie par a∙m = m∙a^op. »

Dire « On pourra définir de même un A-module à droite » me semble un peu flou. On a un peu l'impression que la loi externe d'un A-module à droite M est une application de M × A dans M, alors que, pour Bourbaki (Algèbre, ch. II, 1970, p. II.2), c'est une application de A × M dans M, comme la loi externe d'un A-module à gauche. Bourbaki dit explicitement que si, pour a dans A et x dans M, on note a * x l'image de (a, x) par cette loi externe, alors, pour a et b dans A et x dans M,

a*(b*x) = (b*a)x (pour un module à droite),

ce qui correspond à ce que notre article qualifie de naïf. Bourbaki dit ensuite qu'une loi externe de module à gauche se note d'habitude multiplicativement, en mettant l'opérateur (élément de l'anneau) à gauche et qu'une loi externe de module à droite se note d'habitude multiplicativement, en mettant l'opérateur (élément de l'anneau) à droite, de sorte que, dans un A-module à droite M,

(xb)a = x(ba) pour a, b dans A et x dans M,

mais ce n'est qu'une question de notations.

Avec la définition de Bourbaki, un A-module à droite est rigoureusement un A^op-module à gauche. On ne doit donc pas employer la formule floue « vu(s) comme », qui apparaît trois fois dans le passage de notre article que j'ai cité. (Et par parenthèse, que signifie « vus comme éléments de A^op » ? Les anneaux A et A^op ont les mêmes éléments.)

On peut évidemment trouver que la définition de Bourbaki met une dissymétrie désagréable entre modules à gauche et modules à droite (Bourbaki privilégie les modules à gauche) et fait apparaître les modules à droite comme des mauvais modules, des modules tordus, et il y a peut-être des auteurs qui définissent un A-module à droite M par une application de M × A dans M alors qu'ils définissent un A-module à gauche M par une application de A × M dans M (je ne le sais pas, parce que beaucoup d'auteurs laissent du flou autour de ces choses), mais il faut voir que cela a certaines conséquence. Outre qu'il n'est plus rigoureusement vrai qu'un A-module à droite est un A^op-module à gauche, la structure naturelle de A-module à gauche sur A est identique à sa structure naturelle de A-module à droite, car c'est la même loi « externe ». Chez Bourbaki, ces deux A-modules sont distincts, il les note A_s et A_d (p. II.2-3).

Pour ma part, je préférerais que l'article évite le flou et s'en tienne aux définitions de Bourbaki, mais je n'ose pas intervenir sans consultation préalable, car je ne prétends pas connaître les détails de cette question fastidieuse. Marvoir (discuter) 4 avril 2017 à 11:11 (CEST)

Dernières modifications de l'article

• Verdy p, quand j'ai réverté vos modifications pour la première fois, vous aviez mis ceci : « Soit A un anneau (unitaire). Un A-module à gauche (ou encore un module à gauche sur A) est la donnée (M, +, ∙) d'un ensemble M, d'une loi de composition interne + dans M qui fait de M un groupe abélien (muni d'une seconde loi de composition interne notée ici *, dérivée de la première mais non nécessairement commutative) ». Voir le diff de mon revert. Je propose que vous expliquiez quel sens vous donnez aux mots que j'ai mis en gras et quel rôle cette seconde loi interne sur M joue dans la définition d'un module. Marvoir (discuter) 27 novembre 2018 à 10:25 (CET)

  ta phrase en gras n'est pas celle que j'ai mise (elle a été là temporairement avant que je me rende compte que ce n'était pas l'emplacement approprié, mais justifié par l'usage dans l'intro même de la notation multiplicative par juxtaposition qui est extrêmement trompeuse... et même fausse dans la façon dont elle était exprimée et la façon dont elle a été remise maintenant en arrière). Cet article est maintenant à nouveau complètement faux. Ce que tu as posté ici n'est PAS ce qui était finalement en place (après avoir unifié les notations pour lever toutes les ambiguïtés ce qui s'est fait en plusieurs petites étapes). Bref tu postes ici un truc qui n'était déjà même plus dans l'article ni même au moment où tu avais fait un revert alors que je travaillais déjà dessus et que ce n'était pas terminé. Verdy p (discuter) 29 novembre 2018 à 18:43 (CET)

• Je ne suis pas spécialiste de la théorie des modules mais je ne comprends vraiment pas l'utilité de passer par tout ce bazar. Pour des espaces vectoriels, personne ne s'amuse à noter différemment la loi additive du corps et la loi additive de l'espace !!! Pourquoi ça serait différent pour les modules ? Ce n'est vraiment pas du tout clair. La version d'avant les modifications de Verdy p était très bien, voir également la version anglaise de l'article. --Valvino ^(discuter) 27 novembre 2018 à 20:15 (CET)
• le souci d'utiliser dans un premier temps des notations différentes pour les lois internes de l'anneau, la loi interne du module et la loi externe du module ne m'a pas particulièrement choquée mais si on se réfère aux sources (Spirzglas, MacLane et Birkhoff, Lelong Ferrand Arnaudies) les lois sont notées de manière identique donc autant s'aligner sur les sources les plus courantes. Ce qui me gêne le plus c'est la section notation. Je ne comprends pas en particulier la remarque « les notations a∙x et x∙a ne sont pas nécessairement équivalentes (étant donné que M n'est pas nécessairement commutatif) » (sic). Que signifie la commutativité pour une loi externe ? De même, je trouve très confusionnant (pour parler prudemment) cette introduction d'une seconde loi externe : dans un module il n'y a qu'une loi externe => Je suis d'avis de revenir à la version antérieure qui était consensuelle. HB (discuter) 27 novembre 2018 à 21:03 (CET)

  Un module n'est pas commutatif par définition, il l'est éventuellement par son opération **interne** (en l'occcurence ici le point multiplicatif). Franchement si tu ne comprends pas, tu ne comprends pas la définition d'un module si là aussi tu confonds les opérations (tous les auterurs et sources insistent sur le fait de ne pas confondre les 4 opérations dont les propriétés sont très souvent différentes; la distinction des définitions devient indispensable quand on voit qu'un anneau sur un corps est aussi un module sur le même corps, un des cas où on peut librement confondre les deux paires d'opérations). Verdy p (discuter) 29 novembre 2018 à 18:37 (CET)

• Je suis d'accord avec HB. Les notations différentes pour les différentes lois, cela pourrait se défendre dans un premier temps, mais comme la pratique universelle procède autrement, le mieux est sans doute d'utiliser les notations habituelles, tout en notant qu'elles désignent de la même façon des lois différentes. Mais le plus grave, comme le dit HB, c'est cette histoire d'une "autre loi externe", inutile et confusionnante. Je serais donc d'avis, moi aussi, de revenir à la version du 16 octobre 2017 (dont on pourrait retirer le mot "spectaculaire", que Valvino trouve non neutre). Marvoir (discuter) 28 novembre 2018 à 10:54 (CET)

  l'autre loi interne (qui est définie comme l'opération symétrique permettant d'exprimer la commutativité possible) existe dans tous les modules. De plus plus bas est fait mention aussi d'une loi externe symétrique (MxA vers M et non seulement AxM vers M), et la notation multiplicative par juxtaposition pourrait facilement confondre ces ceux opérations externes pourtant bien différentes dans le cas des modules à droite... Là encore si on ne mentionne pas cette confusion il y a risque de confondre les notations et permuter à tord les opérandes (comme si le module à droite était commutatif). Un module commutatif est nécessairement un module à droite ET à gauche. L'intro pourtant veut clairement distinguer les deux cas. Les modules ne sont pas tous des corps ou des anneaux, on ne peut pas librement faire toutes les permutations et associations d'opérandes comme on le fait en arithmétique et sur les corps en général. Verdy p (discuter) 29 novembre 2018 à 18:37 (CET)

Nous sommes trois à avoir le même avis, je m'occupe donc de revenir en arrière. --Valvino ^(discuter) 28 novembre 2018 à 17:53 (CET)

Et cette définition maintenant est totalement ambiguë et produit inductivement des assertions totalement FAUSSES !!! Ce retour en arreière n'a rien de bon et on ne peut pas comprendre du tout la différence entre un module (plus restreint) et un anneau. Elle n'est PAS DU TOUT équivalente aux sources habituelles, il manque les mises en garde et définitions préalables de notations. Les opérations sont confondues en 2 et c'est totalement faux. Verdy p (discuter) 29 novembre 2018 à 18:40 (CET)

Action de groupe

Il serait peut-être pertinent de relever la ressemblance des deux dernier axiomes de définition avec la celle d'une action de groupe ((A,x) n'étant pas un groupe, il ne s'agit bien sûr pas d'une action au sens rigoureux).

--88.163.147.100 (discuter) 19 juillet 2021 à 23:48 (CEST) Wasfi