Discussion:Algèbre de Boole (structure)

Terminologie

Si je peux me premettre, je pense que ce que vous nommez "algèbre de Boole" est en fait tout simplement la définition de la structure d'algèbre tout court. Néanmoins il existe l'anneau de Boole qui est un anneau particulier... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 212.96.70.21 (discuter), le 18/11/2005.

algèbre sur un corps ? algèbre sur un anneau ? autre ? Parler d'anneau de Boole privilégie une opération + qui n'est pas celle habituelle sur ce type d'ensemble d'où la priorité donnée au treillis. HB 20/11/2005

ébauche

Voir la version anglaise. Proz 19/11/2006

Homonymie

Pourquoi ne pas laisser l'homonymie sur algèbre de Boole ? Sinon il faut corriger la nouvelle phrase d'introduction. Malgré son nom, l'article Algèbre de Boole (logique) traite des aspects "calcul algébrique", un autre sens du mot algèbre, dans un cadre "algèbre de Boole finies". En logique on s'intéresse bien-sûr aussi aux structures. Proz (d) 30 janvier 2011 à 17:35 (CET)

Distributivité(s)

Dans un treillis (ensemble ordonné), chacune des 2 entraîne l'autre Anne 30 janvier 2011 à 23:46 (CET)

complémentaire: a'=1+a, ou a'=1-a ?

Dans la section "Algèbre de Boole comme anneau" il est dit :

".. et que tout élément a possède un complément a’ = 1 + a."

or on a a+a'=1 et 1 est l'element maximum.

Le complémentaire ne devrait-il pas etre a' = 1 - a ?

92.135.86.218 (d) 2 mai 2011 à 21:58 (CEST)Olivier A

a + a = 0 donc 1+a=1-a. Anne 2 mai 2011 à 23:48 (CEST)

Faux a + a = a !!!

a or a = a parce que a prend soit la valeur 1 soit la valeur 0 et donc si a est = 0 alors a + a = 0 et ci a = 1 alors a + a = 1 donc a + a = a qu'ils soit = à 1 ou à 0... Ppignol (discuter) 28 avril 2021 à 08:46 (CEST)

Quel est l'opérateur logique correspondant à "-" ? Ppignol (discuter) 28 avril 2021 à 08:51 (CEST)

La relation a + a = a est fausse. C'est bien a + a = 0 qui est vérifié, et -a = a. Il ne faut pas confondre + et ∨. Theon (discuter) 28 avril 2021 à 10:06 (CEST)

Corps de Boole ?

Pour tenter de comprendre les axiomes d'anneau de Boole j'ai pris pour modèle l'ensemble des parties d'un ensemble E muni de + = ∪ et de . = ∩ avec ∅ pour élément neutre de + et E pour élément neutre de . . Par principe de dualité j'aurais pu inverser et prendre + = ∩ avec E pour élément neutre et . = ∪ avec ∅ pour élément neutre. Toujours par principe de dualité, si l'une des opérations est idempotente alors l'autre l'est automatiquement aussi. L'anneau n'est donc pas de caractéristique 2 (a+a+a=a) comme vous l'indiquez, mais de caractéristique 1 (a+a=a). En fait c'est un corps commutatif de caractéristique 1 dont tout élément -0 inclus- est inversible, et même un bicorps commutatif puisqu'on peut inverser les rôles des deux opérations.

D'où le titre. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.104.148 (discuter), le 8 avril 2020 à 08:30 (CEST)

WP n'est pas le lieu de recherches personnelles mais doit rapporter ce que donnent les sources encyclopédiques. Cela évite les erreurs probablement faites de bonne foi.

Par exemple dans la suite des remarques, je note déjà un certain nombre de points d'incompréhension:

* (P(E), union, intersection, ensemble vide, E) est bien une algèbre de Boole mais ne forme pas un anneau de Boole. Car pour une partie A non vide, il n'existe pas de partie A' telle que A union A' = ensemble vide (donc pas d'opposé). L'anneau de Boole associé à cette algèbre de Boole a une première loi plus compliquée (complémentaire de la différence symétrique)

* L'idempotence et la notion de caractéristique sont deux choses différent : idempotence a*a=a, caractéristique n : a+a+a+a (n fois) = 0 (soit pour n = 2, a + a = 0) - Parler de caractéristique 1 n'a pas de sens.

Je pense donc que la prudence consiste à rester sur le contenu de l'article présent actuellement. HB (discuter) 8 avril 2020 à 13:55 (CEST)

Compléments ?

1. Quelques indications sur ce qui se passe dans les espaces topologiques ?

- Mentionner que l'ensemble des ouverts (resp. des fermés) peut être muni d'une complémentation, le complémentaire d'un ouvert étant l'intérieur du fermé complémentaire (resp. ...), ce qui, avec l'union et l'intersection munit cet ensemble d'une structure d'algèbre de Heiting complète (resp. d'algèbre de co-Heiting (ou de Brouwer) complète) ? - Mentionner que les bons ouverts* (resp. les bons fermés*) -ces notions très naturelles manquant à mon avis dans l'entrée "Espace topologique" de Wikipédia- forment, eux, une algèbre de Boole complète (et signaler la connexion avec le forcing de Cohen -présentation booléenne de Dana Scott) ?

2. Quelques indications sur -ou quelques liens vers- la théorie des algèbres de Boole ? - Théorie complète ? - Élimination des quantificateurs ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.104.148 (discuter), le 8 avril 2020 à 09:03 (CEST)

Idem que plus haut concernant les recherches personnelles HB (discuter) 8 avril 2020 à 13:55 (CEST)

Corps de Lupasco ?

Il me semble très plausible qu'en structurant l'ensemble des parties d'un ensemble par l'union disjointe (la différence symétrique) et sa duale (qu'on appellerait naturellement l'intersection conjointe), avec les mêmes éléments neutres que pour la structure d'algèbre de Boole et la même complémentation, on obtienne une structure intéressante (bicorps de caractéristique 1). À ce propos il me semble étrange qu'il n'y ait pas d'entrées Wikipédia "Intersection conjointe" et " "et" inclusif", puisqu'il y a les entrées symétriques "union disjointe" et " "ou" exclusif". Je ne sais pas si cette structure est déjà étudiée (ce serait pour moi un véritable scandale si ce n'est pas le cas). Si cette structure -qui coïncide avec celle d'algèbre de Boole dans le cas de deux éléments- a des propriétés suffisamment intéressantes (bicorps de caractéristique 1 ?) pour mériter d'être associée à un nom, je crois que Stéphane Lupasco s'impose naturellement. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.104.148 (discuter), le 8 avril 2020 à 09:41 (CEST)

Idem que plus haut concernant les recherches personnellesHB (discuter) 8 avril 2020 à 13:55 (CEST)

Boole, Compléments, Lupasco

Merci pour votre rapide réaction. (Je vous réponds en ouvrant un nouveau sujet parce que je ne sais pas faire autrement.) 1. Caractéristique p. La définition a évolué: c'est dorénavant (p+1)a=a, ce qui est plus général et permet de donner un sens à la caractéristique 1. Une référence est la publication ENS "Un topo sur les topos" d'Alain Connes (disponible sur la toile), mais il y en a très certainement d'autres puisque les corps de caractéristique 1 sont au centre de ses préoccupations actuelles. 2. En ce qui concerne mon titre "Compléments?". Il n'y a strictement rien de personnel là-dedans (ces choses faisaient partie du standard de ce que savaient les logiciens et théoriciens des ensembles il y a une quarantaine d'années et en font vraisemblablement toujours partie). 3. OK pour vos remarques concernant le reste. Je pense que le paragraphe "Anneau de Boole" devrait commencer par faire le lien avec le paragraphe précédent et l'initial "En mathématiques, une algèbre de Boole, ou parfois anneau de Boole" assez troublant puisqu'une algèbre de Boole n'est pas un anneau de Boole comme une algèbre de Boole est un treillis (l'équivalence de 1.2 et 1.3 n'est pas aussi naturelle que celle de 1.1 et 1.2). Pour moi la saine logique est de commencer par le 1.2 (je trouve bizarre que dans un article intitulé "Algèbre de Boole" on commence par définir ce qu'est un treillis distributif complémenté!). Et seulement ensuite faire le lien avec les structures de treillis distributifs complémentés et les anneaux de Boole (tant pis pour Cori et Lascar...) en indiquant dès le début de chaque paragraphe la correspondance des opérations et en listant ensuite les axiomes de ces structures (ou en renvoyant aux entrées Wikipédia Treillis et Anneau de Boole). 4. Je maintiens que c'est pour moi un véritable scandale si la structure (E, + , 0 , . , 1) n'a pas été étudiée (où l'addition est l'intersection conjointe et la multiplication est l'union disjointe: a+b := a∧b ∨ a°∧b° et a.b := a∨b ∧ a°∨b°, et je maintiens que si cette structure est intéressante -ce que je crois- elle mérite d'être associée au nom de Lupasco (corps de Lupasco -de caractéristique 2 avec la définition moderne-?) (cf. sa fiche Wikipédia). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.96.70 (discuter), le 9 avril 2020 à 00:50 (CEST)

Je reprends juste la nouvelle définition de la caractéristique que vous donnez: elle s'applique si on veut généraliser la notion à autre chose qu'un anneau (quasi-anneau et quasi-corps). Sur un anneau (et a fortiori un corps), l'existence d'inverse pour la première loi permet de rester sur la définition standart. Et de ce que j'ai lu, pour la caractéristique 1, on ne travaille pas sur des corps mais des quasi-corps à l'exception du monstre dans lequel 0=1). Maintenant, je ne souhaite pas voler au niveau de Grothendick et les catégories et ne pense pas pas que l'article gagnerait à aller dans ces hauteurs. Il vaut mieux rester plus prudent, plus basique et plus vérifiable (cf les erreurs que, professeur de base, j'ai pu repérer dans ce que j'ai pu comprendre de vos remarques). Je ne vais pas pourvoir continuer à vous suivre sur cette voie et j'attends donc l'avis d'autres contributeurs. HB (discuter) 9 avril 2020 à 10:04 (CEST)

Théorie complète, élimination des quantificateur et PLAN DE L'ARTICLE

Je trouve dommage qu'il n'y ait pas un paragraphe au sujet de la complétion et de l'élimination des quantificateurs. Il y a une référence pour moi classique qui est le bouquin de Kreisel et Krivine. Ce sont quelques lignes à rajouter et des liens vers les articles Wikipédia correspondants (en créant éventuellement un article "Théorie des algèbres de Boole"). Et l'équivalence des trois présentations 1.1, 1.2, 1.3 montre alors que les deux autres théories ont les mêmes propriétés.

NB: L'article me PIQUE LES YEUX dès le sommaire! Un lecteur lambda qui lit ce sommaire comprend qu'une algèbre de Boole est un treillis et se pose la question: pourquoi alors ne pas appeler ça un treillis de Boole? Il me semble absolument impératif de commencer par dire qu'une algèbre de Boole est une algèbre au sens que les matheux donnent à ce mot (algèbre à deux termes 0 et 1 et trois lois internes ∧, ∨, °), en renvoyant à l'article "Algèbre (structure)" de Wikipédia (en y faisant le ménage?). Puis mettre impérativement l'actuel 1.2 en 1.1 me semble être la première des choses à faire pour la cohérence générale de l'article en lui-même d'une part et de l'article en relation avec son titre d'autre part. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 92.184.117.160 (discuter), le 9 avril 2020 à 08:24 (CEST)

Sur le plan : effectivement on parle aussi de "Boolean lattice" (et je vois des pages de cours qui utilisent "treillis de Boole"), mais il me semble que le sommaire énonce clairement qu'il existe plusieurs caractérisations équivalentes des algèbres de Boole. La dénomination (quai certainement antérieure à celle d'algèbre sur un corps) n'est certainement pas un bon argument. Je suis tout à fait opposé à renvoyer à la structure d'Algèbre associative sur un corps (je suppose ?) dès l'introduction, le cas est tellement particulier qu'on s'en passe parfaitement. C'est tellement peu "impératif" que les deux premières références de la bibliographie ne le font pas (et ne le mentionnent même pas, sauf erreur), je ne sais pas pour la 3ième mais ce n'est probablement pas le cas vu le titre du chapitre.

Sur l'ordre 1.1 1.2 1.3 : là il est clair qu'il n'y a rien d'obligé : il faut juste que les 3 caractérisations apparaissent rapidement et soient bien identifiables. L'introduction des treillis par l'ordre plutôt que par la définition algébrique me semble plus accessible, mais c'est aussi une question de rédaction. Il ne s'agit pas seulement d'intervertir, car cela demande une autre présentation. Donc ça me paraît assez vain, d'autant que je ne vois pas où l'article ne serait pas cohérent.

Sur la complétion : entre les chapitres sur les algèbres de Boole complètes et le théorème de Stone, ça n'est pas absent, ça pourrait aller dans un article Algèbre de Boole complète (cf. l'article sur en:).

Elimination des quantificateurs : (dans les algèbres de Boole séparables) pourquoi pas (rmq : le Kreisel-Krivine est en ligne sur la page pro de J.L. Krivine), mais ça n'est quand même pas très central, il est probable que ça ait plus sa place dans l'article Élimination des quantificateurs. Proz (discuter) 9 avril 2020 à 17:48 (CEST)

Ceci est faux :

On déduit de l'idempotence du produit, en calculant de deux façons (a + a)² (distributivités) et en simplifiant, que chaque élément est son propre opposé, c'est-à-dire qu'un anneau de Boole est de caractéristique 2 :

a+a = 0 (un élément est son propre opposé) <-- ici a+a = a (a or a = a)!!! donc ça peut pas être = 0 !!! et un élément ne peut pas être son propre opposé en calcul booléen L'anneau est donc une algèbre sur le corps à deux éléments.

On déduit toujours de l'idempotence, en calculant de deux façons (a + b)², que a•b + b•a = 0, <-- ici (a + b)² = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a + a.b + b = a + b !!! donc ça peut pas être = 0 !!!

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Ppignol (discuter), le 28/4/2021 à 8 h 50‎.

La relation a + a = a est fausse. C'est bien a + a = 0 qui est vérifié. Il ne faut pas confondre + et ∨. Theon (discuter) 28 avril 2021 à 10:07 (CEST)

Cele provient d'une mauvaise compréhension de la loi +. Il ne s'agit pas de l'union (si on parle des parties d'un ensemble) mais de la différence symétrique (union privée de l'intersection) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A0D:E487:16F:F1DB:0:0:3E0:E3E1 (discuter), le 28 avril 2021 à 10:34 (CEST)

Voir la note 5 actuelle : la convention de notation adoptée ici est celle courante en math et logique mathématique, compatible avec la notation habituelle pour les anneaux. L'article Algèbre de Boole (logique), consacré en fait au calcul booléen, adopte l'autre convention. Proz (discuter) 28 avril 2021 à 15:12 (CEST)

Algèbre? Anneau? Groupe?

Bonjour, une algèbre est définie sur un anneau. Or, Ni ({0,1}, OR) , Ni ({0,1}, AND) ne sont des groupes. L'algèbre de Boole n'est pas une algèbre. Les seules structures intéressantes qu'on peut extraire de toutes les lci possibles sont les corps ({0,1},XOR, AND) et ({0,1},XNOR, OR) qui sont par conséquent des espaces vectoriels sur eux-même, ce qui leur confère de remarquables propriétés en terme de calcul et de simplification. On pourra même se restreindre au premier. Je ne comprends pas qu'on enseigne encore ce vestige du passé confusant qu'est "l'algèbre de Boole" qui, utile en son temps, doit rendre les armes. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A01:CB08:8350:9F00:6164:FF3E:1A26:CA79 (discuter), le 3 août 2021 à 09:05 (CEST)

S'il vous plait, pouvez-vous lire l'article, la page de discussion et quelques livres avant d’assener tranquillement, en contradiction avec les connaissances actuelles, qu'une algèbre de Boole n'est pas une algèbre avant de redécouvrir la roue (c'est à dire les lois impliquées dans l'anneau : XOR et AND pour parler votre vocabulaire). L'algèbre de Boole est donc bien une algèbre à condition de choisir les bonnes lois. Quant à l'opportunité d'enseigner ce "vestige du passé (sic)", ce commentaire est hors sujet car il ne peut pas contribuer à améliorer l'article. HB (discuter) 3 août 2021 à 11:04 (CEST)

Désolé ce post était destiné à une autre page (presque) homonyme ouverte en même temps sur mon navigateur. Je suis cependant stupéfait du pouvoir que vous m'octroyez sur vos nerfs, j'espère que vous vous en êtes remis :) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A01:CB08:8350:9F00:6164:FF3E:1A26:CA79 (discuter), le 4 août 2021 à 18:51 (CEST)

Désolée itou pour la sécheresse du ton venant de la sempiternelle confusion entre le or et le xor. D'autre part, il faut éviter les tons péremptoires si l'on veut éviter les réponses sèches. Soyez rassuré sur l'état de mes nerfs qui se portent fort bien. Et contente que le malentendu soit levé . HB (discuter) 5 août 2021 à 08:12 (CEST)

A quel autre article faites vous allusion? HB (discuter) 5 août 2021 à 08:12 (CEST)

Algèbres de Boole finies

Dans cette section il est affirmé que "Toute algèbre de Boole finie est isomorphe à l'ensemble des parties d'un ensemble fini, qui est l'ensemble des atomes de l'algèbre".

Merci de donner une référence pour ce théorème, car c'est précisément pour connaître la structure des algèbres de Boole finies que j'ai consulté cet article de Wikipédia. Jc7146 (discuter) 8 février 2023 à 15:08 (CET)

Fait (voir ouvrages en biblio, c'est aussi probablement dans le 3ème). Proz (discuter) 8 février 2023 à 20:20 (CET)