Discussion:Algèbre de Boole (logique)

Remarques sur l'article

• les tables de vérité que je connais se présentent comme un tableau à double entrée, et pas un tableau à une entrée, ie: on choisit la bonne ligne pour a, la bonne colonne pour b et on lit le résultat de op(a,b) sur la case correspondante;
• dans la définition de table de vérité, je me suis demandé ce que pouvaient bien être x1, x2, etc... Peut-être qu'un exemple sera plus parlant...
• qualifier le 'et', le 'ou' et le 'non' d'élémentaires me semble faux. "de base" oui, "élémentaire", non: en effet, à côté du non-et et du non-ou, qui sont (chacun, pas forcément les deux simultanément) capable de reconstituer tous les autres;
• d'ailleurs puisqu'on en parle, ce dernier résultat est des plus intéressants à mentionner (et prouver?) dans cet article, dans la mesure ou cela a des applications, par exemple en électronique;
• peut-être faut-il aussi mentionner que toute fonction de vérité sur un nombre fini de variable se décompose selon ces opérateurs (il y a même des histoires de formes normales conjonctives/disjonctives, des questions de PROLOG, etc...);

J'espère avoir fait des remarques constructives dans le lot...

Snark

Les tables de vérité utilisées dans l'article me semblent cohérentes avec l'usage : une colonne par entrée (typiquement côté gauche) et une colonne par sortie (à droite). Les tables à double entrée sont plutôt des tables de Karnaugh ? - Wikiwill (discuter) 17 juin 2021 à 10:25 (CEST)

Doublon avec Calculs de proposition

Il faudrait éviter les doublons avec la page Calcul des propositions que j'ai complété il y a peu.
Il faut aussi réécrire la page pour remplacer les notations avec | par celle utilisant le mode mathématique.
Ellisllk 16 jul 2003 à 22:18 (CEST)

George Boole et non Alfred Boole

Qui est Alfred Boole? Je pense que vous allez trouver que c'est GEORGE Boole qui est le créateur de l'algebre de Boole.

Jonny G

Merci, Jonny. -- Looxix 16 aoû 2003 à 15:35 (CEST)

Question à propos du langage courant

J'ai toujours été très intrigué et parfois gêné de ce que dans le langage courant (en parlant comme en écrivant) "a OU b" ne puisse pas être distingué de "(a ET NON b) OU (non A et B)": à l'exclusion de certains sujets particuliers, cette distinction est elle vraiment pédante et superflue (et ma question elle aussi pédante et superflue)?

Non non, cette question n'est pas pédante et superflue (tte question fait avancer le schmilblic). La distinction est faite grâce à l'opérateur OU EXCLUSIF (un + entouré), qui revient à écrire (A . nonB) + (nonA . B). J'espere avoir répondu a ta question :).AElfwine 6 mai 2004 à 19:05 (CEST)

Non, le langage courant admet très bien que le 'ou' soit inclusif. Ce sont les restaurateurs qui ont la sale manie d'écrire "fromage ou dessert" alors qu'ils veulent exprimer "soit fromage soit dessert". Snark 9 mai 2004 à 11:51 (CEST)

Pourquoi les restaurateurs aurait-ils une sale manie, puisque le langage courant admet très bien que le "ou" soit inclusif ou exclusif.., mais c'est plus compliqué que ça puisque "et" dans le langage courant est parfois "ou": ne serait-ce que dans cette expression: "En français le "ou" est inclusif ET exclusif." ("Dans cette salle, il n'y a que des tableaux de Renoir ET de Matisse.") Pour revenir aux restaurateurs, si le choix de fin de repas avait été un "ou" inclusif, ils écriraient "Fromage ET dessert" !....--Ssire 7 jul 2004 à 08:02 (CEST)

En fait, en français, au lieu de dire simplement "ou" pour un ou exclusif, on doit dire "ou bien", par exemple: fromage ou bien dessert. 2 jul 2015 à 01:12

Cette distinction vient déjà du latin : ils distinguaient le ou inclusif et le ou exclusif par "vel" et "out"

Mise en page des not

si quelqu'un à le temps:

mettre en page les not avec la fonction math LaTeX \overline{} ainsi, par exemple:

\overline{\overline{a\ +\ b}}\ =\ \overline{\overline{a}.\overline{b}} donne:

${\overline {\overline {a\ +\ b}}}\ =\ {\overline {{\overline {a}}.{\overline {b}}}}$

au passage, le symbole xor c'est \oplus : $\oplus$

J'ai fait une première mise en page des "not"... J'ai pas oser toucher à la notation a| pour ${\overline {a}}$, notation que d'ailleur je n'avais jamais vu.... :/

Il ne s'agissait pas de transformer les $\neg a$ (qui n'étaient pas encore dans la page à cette époque), en ${\overline {a}}$, mais les a|, qui avaient été écrits à défaut de mieux par le rédacteur originel. Pour ce qui est des $\neg a$, c'est la notation utilisée par tous les logiciens théoriques, tant qu'on reste du côté formel. Je pense que c'est une bonne chose d'utiliser des symboles différents dans les deux parties afin de ne pas confondre syntaxe et sémantique. J'ai d'ailleurs restauré la dernière version de CD (non pas pour ça, mais parce que ta dernière modification avait détruit les interwikis en unicode). --Aldoo / ✉ 14 fev 2005 à 17:56 (CET)

Thow, autant pour moi... Ma première contrib a wikipedia est un echec, j'ai justement pas osé toucher a la partie que j'aurais du corriger... Je m'occuperais de la correction dès que j'aurais compris ce que j'ai cassé. "ta dernière modification avait détruit les interwikis en unicode" heu c'est quoi ? et si tu as une idée de comment j'ai pus les casser.... que je ne recommence pas la même erreur.... SegFault

Les interwikis sont les liens avec les versions dans d'autres langues du présent article. Unicode est une norme de représentation des caractères (enfin, UTF-8, pour être exact, est une norme de codage des caractères Unicode). Compare les deux versions pour comprendre (avec l'outil fourni dans l'onglet historique) ... si tu as un navigateur unicode (et que tu as une police de caractère unicode installée), ça devrait te sauter aux yeux. En fait, je ne vois pas trop comment on peut en arriver à détruire les caractères unicode aussi facilement. Je pense que c'est parce que tu dois utiliser un navigateur un peu vieux qui ne respecte pas cette norme. Essaye avec un navigateur moderne tel que Mozilla Firefox, si tu veux éviter ce genre de désagrément. --Aldoo / ✉ 15 fev 2005 à 17:05 (CET)

Ok, refait la modif, j'espère correctement. Pour l'unicode, j'avais pas vu que les caractère spéciaux n'avais pas un encodage particulier.... :/ . Et vu que j'avais fait un copier-coller barbare dans mon editeur de texte préféré (alias Notepad2...) pour rechercher les occurrences, forcément.... Si c'est ok, cette partie de la discution est peut-être à effacer ? (enfin j'en sais rien, comme dit, je suis nouveau contributeur...)

On efface rarement les discussions ici ;-). A moins que la page soit réellement encombrée, auquel cas on archive. En tout cas merci pour ce travail qui aurait déjà dû être réalisé il y a bien longtemps ! --Aldoo / ✉ 16 fev 2005 à 14:23 (CET)

Notation . et +

Il me semble qu'on aurait tout aussi bien pu ecrire:

• Le ET (opération .) est une opération (en fait une loi de composition interne) dont 1 est l'élément neutre.
• Le OU (opération +) est une opération (en fait une loi de composition interne) distributive et associative par rapport au ET.
• L'ensemble des booléens munie de l'opération ET est un groupe commutatif.
• ....

Pourquoi priviléger une forme ? Ne serait-il pas interressant de présenter ça, en remarque, peut-être. Je ne le fais pas moi-même, je ne suis pas assez pointu dans le domaine--Ssire 7 jul 2004 à 08:37 (CEST)

Définition formelle ?

Dans cet article, il manque l'essentiel : la définition formelle de la structure algébrique qu'est l'algèbre de Boole !!! (A savoir un ensemble muni de deux lois de composition internes idempotentes avec élément neutre et mutuellement distributives, etc, etc ...). Le problème, c'est que si je l'ajoute, ça va faire doublon avec les soi-disant "propriétés" explicitées plus loin (qui font en fait partie des axiomes de cette structure !). Bon, je m'en vais réfléchir à une possible refonte.--Ąļḋøø 24 oct 2004 à 20:00 (CEST)

inverse

«ā se lit « a barre » et compte comme l'inverse de a. (0 si a=1, 1 si a=0)»

le terme "inverse" est-il réellement le bon ici? J'ai un bouquin qui parle d'algèbre de boole, si je le retrouve je verrai ce qu'il en dit Esp2008 5 déc 2004 à 22:22 (CET)

En électronique, on parle bien d'inversion pour passer de a à NONa HB 12 avr 2005 à 13:01 (CEST)

Proposition de refonte

L'article me semble très (trop) dense) et il ne pourra aller qu'en croissant. Je propose donc une cission

• Algèbre de Boole (algèbre) parlant de l'ensemble muni de ses deux lois
• Algèbre de Boole (fonction logique) qui devrait à terme contenir l'équivalent d'un bouquin et donc qui devra probablement renvoyer sur des articles plus spécifiques

L'algèbre de Boole (fonction logique) est la partie des mathématiques et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et fonctions sur les variables logiques

Avec une décomposition

Définition

d'une valeur de vérité, une variable logique, une valuation , d'une fonction ou d'un opérateur

Opérateurs fondamentaux

ET, OU, NON (l'actuel chapitre opérateurs logique)

Réduction des opérateurs logiques

chapitre présentant la réduction des opérateurs XOR, EQV, IMP et INH et renvoyant sur d'autres articles créés ou à créer

• methode de Quine-mcCluskey
• méthode des tremes irréductibles
• diagramme de Karnaugh

Exemple d'opérateur logique

cela necessitera un grand changement

• renommage de l'article en Algèbre de Boole (fonction logique)
• transformation de la page Algèbre de Boole en page d'homonymie,
• Création d'une page Algèbre de Boole (algèbre)

C'est pourquoi je fait d'abord cette proposition avant de me lancer (dans une semaine) dans une réalisation.HB 12 avr 2005 à 13:01 (CEST)

• Salut. Suis largement favorable à cette proposition ! --Ssire 12 avr 2005 à 13:08 (CEST)

Que faire de cette partie?

---

• Nous nous donnons un ensemble V de symboles appelées variables logiques. Une valuation de V est une fonction qui à chaque variable logique associe une valeur de vérité. On supposera que V est un ensemble fini.

L'idée intuitive que l'on doit avoir d'une variable logique est celle d'une condition de la situation réelle observée, qui peut être satisfaite (état à VRAI), ou non (état à FAUX). Une valuation est la donnée de l'état de tout le système observé.

Exemple avec un état:

0 = lampe éteinte

1 = lampe allumée

• L'algèbre de Boole des fonctions logiques est l'algèbre des fonctions qui à une valuation de V associent une valeur de vérité. Les opérations $\vee$, $\wedge$ et $\neg$, toujours appelées OU, ET et NON se déduisent des opérations OU, ET et NON de l'algèbre des valeurs de vérité (par exemple : la négation d'une fonction logique f est la fonction logique NON(f) qui à une valuation v associe NON(f(v))).

Dans la pratique (dans le cadre de la logique propositonnelle), ces fonctions sont construites :

• soit à partir des valeurs de vérité 0 et 1 : ce sont les fonctions logiques constantes notées aussi 0 et 1 et qui valent toujours respectivement FAUX et VRAI quelle que soit la valuation des variables logiques
• soit à partir d'une variable logique p : c'est la fonction notée p (le même symbole que la variable) où p(v) vaut VRAI si et seulement si v(p) vaut VRAI
• soit à partir d'autres fonctions logiques, composées entre elles par les opérateurs logiques ET, OU et NON

Notons que selon la logique utilisée, il peut exister d'autres constructions (par exemple avec des quantificateurs, dans la logique du premier ordre). Dans le cas où V est fini (le cas qui nous intéresse), les constructions données plus haut permettent d'obtenir toutes les fonctions logiques.

---

N'ayant pas bien compris les notions développées dans ces paragraphes, je n'ai pas réussi à leur trouver une place. Si quelqu'un peut traduire plus simplement et l'intégrer, cela peut être intéressant. HB 20 avr 2005 à 21:19 (CEST)

Définition de OU

Il a d'abord été écrit a OU b est vrai si et seulement si a est vrai ou b est vrai. Le ou en français n'est pas exclusif donc permet de considérer aOUb vrai dans le cas où a est vrai et b aussi

la définition a ensuite été transformée en a OU b est vrai si a est vrai ou si b est vrai . Affirmation tout à fait juste mais qui, en toute théorie, ne définit pas complètement la loi si a est vrai et b faux alors a OU b est vrai si a est vrai et b est vrai alors a OU b est vrai si a est faux et b est vrai alors a OU b est vrai mais cela ne dit rien sur le cas où a est faux et b est faux

d'où le retour à la première formulation. HB 27 septembre 2005 à 18:54 (CEST)

j'ai effectivement modifié un peu vite, et la remarque sur la non def du "a faux OU b faux" est tout à fait juste. Cela dit, c'est le problème de definir un OU rigoureux avec un OU du langage courant, qui n'est pas si systematiquement inclusif, loin de là (cf. le fromage OU dessert des menus de resto cité plus haut..., quand c'est le ET qui prend valeur de OU inclusif dans "fromage ET dessert") Quitte à être redondant ne vaudrait il pas mieux un "si et seulement si A vrai, B vrai ou A et B vrai". Ou encore: AouB faux si et seulement si A faux ET B faux. (pourquoi toujours privilégier les def par Vrai ? Faux est une valeur d'un statut égal à vrai...)--Ssire 27 septembre 2005 à 19:14 (CEST)

Suite: Une définition se doit d'être éclairante, en utilisant un OU flou pour définir un OU rigoureux, on n'est pas très éclairant...En donnant les trois cas (Avrai)OU(Bvrai)OU(Avrai ET Bvrai), on lève l'ambiguité du OU du langage courant...--Ssire 27 septembre 2005 à 21:43 (CEST)

Entièrement d'accord,. C'est la raison pour laquelle j'ai conservé la précision entre parenthèse: (notons que etc.)HB 27 septembre 2005 à 22:10 (CEST)

Identités remarquables

je pense qu'un tableau des identités remarquables serait utile , notament pour le chapitre simplification...

a+a = a
a.a = a
$a+{\overline {a}}.b$ = a + b
a+1=1
a+0=a
a.0=0
a.1=a
etc ...

Proposition d'article de qualité refusée le 25 novembre 2005

Cet article a été proposé comme article de qualité mais a été rejeté car ne satisfaisait pas les critères de sélection dans sa version du 25 novembre 2005 (historique).
Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.

Exemple de fonction logique à 3 variables

Il me semble que l'exemple de la fonction « décrocher » pour le téléphone est un peu incompréhensible en un point. Regardez la table de vérité « décrocher ». Je cite:

« L'observation de la table montre que notre analyse première comportait une situation absurde : si le téléphone sonne et qu'on n'a pas envie de répondre, on ne décroche pas même si on a envie d'appeler quelqu'un. »

Donc, d'après ce texte, il est absurde de ne pas décrocher si le téléphone sonne et on a envie d'appeller quelqu'un. Or, selon le tableau, on décroche dans cette situation. Déjà là, il y a un léger problème. Ensuite, si on propose un autre tableau de vérité, pourquoi pas la formule et une explication?

Je n'ai rien modifié, peut-être que c'est moi qui ne comprends pas. Dans ce cas, pourquoi ne pas modifier la formule en $(a.b+c).(a\oplus c)$? Ainsi, la table de vérité sera correcte. Je me demande seulement s'il n'est pas possible de simplifier cette formule.

Je suis nouveu, j'éspaire avoir tout fait correctement. --Digimag 24 janvier 2006 à 18:08 (CET)

Bonjour, digimag et bienvenu donc sur wikipédia. Tu as fait tout très correctement: la page de discussion de l'article sert justement à ce type de remarque. L'exemple à trois variables propose en fait deux exemples. L'exemple décrocher1 où, partant d'une formule qui semble logique, on construit une table qui montre que le problème a été mal analysé : la formule a.b + c conduit à dire que dans le cas où on a envie d'appeler(c = 1), on décroche même si le téléphone sonne et qu'on n'a pas envie de répondre (b = 0), ce qui ne correspond pas à un comportement normal.

On a alors modifié la table de vérité en conséquence ce qui nous donne la fonction décrocher2 qui, elle, n'est alors définie, provisoirement, que par sa table de vérité. La formule associée à la table de vérité de décrocher2 est mise en place dans la suite de l'article "minimisation d'une expression"' où la formule est d'abord donnée sur forme développée puis sous forme réduite : non(a).c + a.b.

L'objectif, en présentant deux tables et un ajustement, était d'être pédagogique mais ... ça a l'air d'être râté :-(

J'espère que ces explications t'auront éclairé. Si tu les as comprises, n'hésite pas à modifier l'article pour le rendre plus clair (si tu n'as pas compris au départ, d'autres risquent aussi de se poser des questions) HB 24 janvier 2006 à 18:49 (CET)

Remarques

• Même s'il est assez complèt, l'article est trop matheux. On doit pouvoir le rendre plus fluide.
• "A OU B est vrai" si au moins "A est vrai" ou "B est vrai". Une définition du OU qui de plus justifie la notation "≥1" pour les portes logiques des schéma normalisés éléctroniques ou pneumatiques. Par opposition à la fonction OU exclusive "=1".
• Remarque amusante: prenez la table de vérite du OU et inverser tous les 0 et 1, vous obtiendrez la table de vérité du ET. C'est sur cette propriété que que reposent le théorèmes de Morgan.
• enfin il y a quelques relations avec les probabilités (ET: intersection ; OU: réunion; NON: complémentarité...)

--Ruizo 8 mars 2006 à 08:15 (CET)

Priorité

Il est dit dans la partie Priorité de l'article qu'il était choisi de conserver celle des opérateurs + et ., ce qui m'étonne : pour l'expression $a.b+c$, on peut très bien choisir de réécrire celle-ci sous la forme $a.c+b.c$ pour faciliter l'évaluation. C'est d'ailleurs pour cette raison que certaines personnes préfèrent ne pas utiliser ces notations de + et . qui induisent en erreur à casue de l'habitude qu'on a dans leur manipulation, et d'utiliser plutôt $\land$ et $\lor$.

Ton problème c'est que c'est faux. a.b+c != a.c+b.c; a.c+b.c == (a+b).c; L'algèbre de Boole n'utilise pas . et + pour rien, bien au contraire… On peut d'ailleurs lire dans l'article la demi-bêtise « On privilégiera dans la suite la notation +, mais on prendra garde que cette loi n'a pas de rapport avec l'addition que l'on connait. » Encore faux, le rapport avec l'addition que l'on connait existe. En algèbre de Boole, l'addition et la multiplication ont les mêmes propriétés que celle de l'espace euclidien et renvoient le bit de poids fort du résultat de l'opération que nous connaissons :

1+1=10

Lacrymocéphale 4 avril 2009 à 13:19 (CEST)

Demande de vérification

• Discutez dans les chapitres prévus.
• Liens utiles : À recycler - À traduire - À fusionner - Orthographe à vérifier - Soupçons de copyright - Articles non neutres

Proposé par : >> --86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:26 (CET) <<

Raisons de la demande de vérification

Alors voila les problèmes, je suis pas un pro de la logique, je suis qu'en première S, et j'ai été bien surpris par les tableaux de vérité proposés.

Fonction	Table de verité
${\overline {a+b}}={\overline {a}}.{\overline {b}}$	a b a+b ${\overline {a.b}}$ ${\overline {a}}$ ${\overline {b}}$ ${\overline {a}}.{\overline {b}}$ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Regardez bien le tableau, perso, j'aurais apposé celui ci:

a	b	a+b	${\overline {a+b}}$	${\overline {a}}$	${\overline {b}}$	${\overline {a}}.{\overline {b}}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Mais je suis qu'en première S, je me le suis pas permis.

Ensuite regardez bien le second tableau ET son commentaire:

Fonction	Table de verité
${\overline {a.b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$	a b $a.b$ ${\overline {a.b}}$ ${\overline {a}}$ ${\overline {b}}$ ${\overline {a}}+{\overline {b}}$ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a ou b sont fausses.

Voila euh, la, si vous regardez bien le tableau, l'expression est fausse que si a et b sont vraies, pas comme le dit l'article.

Voila, et, puis, voila euh, je réexplique que si j'ai pas moi même édité l'article, c'est que j'en suis vraiment pas sur.--86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:26 (CET)

Discussions et commentaires

Toutes les discussions vont ci-dessous.

Pour le premier tableau, j'ai corrigé l'erreur de typo. Pour le second tableau, ta phrase est la même que celle de l'article, en l'occurrence correcte si ne m'abuse : non(a ET b) <=> non a OU non b, ie. expression vraie si a OU b faux. jd ❂ 3 décembre 2006 à 18:39 (CET)

Ah oui, c'est très ambiguë de mon point de vue. Pas remarqué en fait ^^--86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:48 (CET)

Tu manques peut-être de pratique ;) Ta phrase est simplement l'équivalence logique de celle écrite dans le corps de l'article. Pour expliciter les choses, en algèbre booléenne, on travaille en binaire, donc ça nous permet de dire que, si quelque chose est vraie si une autre est fausse, alors le quelque chose est faux si l'autre est vraie. Note qu'un monde binaire serait étrange (si le fait que ton chat soit bleu implique que tes cheveux soient sales, alors le fait que tu te laves les cheveux aurait pour conséquence que ton chat ne serait pas bleu. Oui, mais il serait quoi, alors ? Dans le monde booléen, il serait juste « non bleu », ce qui est ennuyeux ^^). Somme toute, les tables ci-dessus ne sont que l'extension à deux variables de cet état de fait, pour les cas non ET, non OU. jd ❂ 3 décembre 2006 à 18:52 (CET)

L'histoire sur un monde binaire me rappelle la blague mathématique (ou logique?) de "C'est un garçon ou une fille?" ^^ (PS, j'ai eu une déconnection 24h, mon IP a changé)--82.121.250.249 3 décembre 2006 à 19:14 (CET)

Erreur dans l'intitulé "Simplification"

Sur la page, dans simplification il est écrit que : a+ \overline{a} . b = a + b ce qui juste simplement faux, En effet ca serais considéré que si a = 1 alors b=0 et inversement ce qui n'est nullement préciser dans l'énoncé. Sauf a préciser cette énoncé a+\overline{a} . b= a+b est un non sens, il eu fallut ecrire a NOR b.

Ne peux on pas simplement supprimer cette ligne de la section ?

Pourquoi l'égalité $a+{\bar {a}}.b=a+b$ obligerait-il b à être nul quand a serait égal à 1? A moins que tu ne confondes l'addition normale et l'addition logique, dans celle-ci 1 + 1 = 1 . Donc pour a = 1 et b = 1, l'égalité s'écrit 1 + 0.1 = 1 = 1 + 1. Je ne vois pas où tu vois un problème. HB (d) 21 avril 2009 à 12:03 (CEST)

Remarque : d'après les références, c'est en électronique que l'on note "+" le ou inclusif. Il me semble bien que c'était ce que faisait Boole (et Schröder ?), et ça perdure apparemment dans certains domaines. Mais en logique mathématique ou en informatique je ne l'ai jamais vu pratiquer. La confusion est quand même facile avec l'addition sur Z/2Z (ou exclusif), surtout que c'est finalement Z/2Z que traite cet article, et il faudrait peut-être changer de symbole (si ça ne vexe pas trop les électroniciens). Proz (d) 24 avril 2009 à 14:42 (CEST)

Il me semble que dans la section notation toutes les notations sont indiquées. Cette page sert de point d'entrée à tout un tas d'articles pour électronicien. le matheux a sa page (algèbre de Boole (structure)), j'ai sous les yeux tout un livre où les notations + et . sont utilisées (certes il est un peu vieux : introduction à l'algèbre de Boole et aux dispositifs logiques, Gerard Hornes et Melvin Heilweil) mais d'autres livres sont encore en circulation utilisant cette notation [1], l'article Fonction logique cite aussi ces notations comme opérateurs booléens. Elles simplifient grandement la lecture des expressions logiques et non ce n'est pas de Z/2Z que traite cet article. Pour toutes ces raisons, j'ai plutôt tendance à vouloir laisser ces notations utilisées dans le domaine professionnel à moins que des électroniciens viennent nous dire qu'ils ont finalement changé de notations. HB (d) 24 avril 2009 à 16:31 (CEST)

Par Z/2Z, je veux dire {0,1}, avec des lois qui s'expriment, directement ou non, avec l'addition et la multiplication usuelles, ce qui est difficilement contestable (les électroniciens doivent avoir aussi besoin de (Z/2Z)^n, qui est également une algèbre de Boole). Je ne crois pas non plus que la notation simplifie la lecture des expressions, sauf pour ceux qui en ont l'habitude évidemment, je trouve justement qu'elle la complique vu l'ambiguïté inhérente (je suis d'accord que tout est bien précisé dans l'article) et c'est le cas au moins pour l'initiateur de ce paragraphe (dans le même ordre d'esprit il ne faudrait pas non plus noter + le ou exclusif, ce qui serait le défaut symétrique). Sur en: les diverses (c'est un vrai foutoir sur en: l'algèbre de Boole, voir en:Boolean algebra) versions ont pris soin d'utiliser des notations non ambiguës. L'impression que je retire de la lecture de ces articles et de leurs sources et que les électroniciens n'ont pas changé de notation, mais est-ce qu'il faut pour autant la conserver pour un article dont rien n'indique qu'il est spécialisé pour électroniciens ? Ceci dit ça ne me démange vraiment pas du tout de faire le changement, c'était juste pour prendre le pouls. Une solution, mais qui pousse au morcellement, serait de changer le nom de l'article (électronique) plutôt que (logique). Proz (d) 24 avril 2009 à 17:30 (CEST)

Peut-être par respect pour M. Boole . Ceci dit cela me gêne de te voir écrire que l'on se sert de l'addition usuelle (même indirectement) alors que ça n' est justement pas le cas. Mais, je ne vois pas pourquoi en fait, moi, une matheuse, je défendrais une notation d'électronicien. Ils n'ont qu'à venir ici défendre eux-même leur bout de gras. Donc fais à ta guise si cela te chante et que personne d'autre que moi ne réagit (mais il y a du boulot à tout réécrire). HB (d) 24 avril 2009 à 18:12 (CEST)

Le boulot, en utilisant des outils d'édition pour les substitutions ... mais j'ai juste donné un avis, je n'ai aucune intention de presser les choses. Ça n'aurait de sens de modifier que s'il y avait un accord assez large (c'est mal parti) et éventuellement dans le cadre d'une reprise plus globale Ceci dit je ne comprend pas la gêne. Proz (d) 24 avril 2009 à 21:05 (CEST)

Après avoir eu l'occasion d'en savoir un peu plus, je n'ai plus aucun doute que les notations de l'article sont encore très utilisés pour les circuits logiques (électronique, bases de l'informatique). C'est finalement plutôt le titre qui est à revoir que les notations (cf. ci-dessous) et il faudrait être très clair sur le fait que ces notations ne sont pas utilisées universellement (et justement pas en logique en général, du moins dans les livres de logique mathématique). Proz (d) 31 janvier 2011 à 16:48 (CET)

Titre

Le titre actuel prête à confusion. Il me semble que les aspects traités sont ceux du calcul algébrique sur les fonctions booléennes (fonctions d'un ensemble fini dans {0,1}), c'est-à-dire dans une structure d'algèbre de Boole finie, mais algèbre ne me semble pas à prendre au même sens que dans algèbre de Boole (structure), mais au sens (probablement plus courant) de calcul algébrique. Il me semble que algèbre de Boole (calcul booléen) irait. Proz (d) 30 janvier 2011 à 17:45 (CET)

Exemples incohérents avec le reste de l'article (et qui seraient à revoir selon moi)

J'ai deux remarques à faire, et j'ai été étonné qu'il n'y ai pas de bandeau en haut de l'article :

• "Si l'on reprend l'exemple du téléphone", je pense que quand ça a été écrit, un exemple "du téléphone" existait dans l'article (j'ai eu la flemme d'aller vérifier avant de venir écrire ces remarques). En tout cas, je n'ai pas trouvé le mot "téléphone" avant cette phrase. Donc ce paragraphe est devenu incohérent en faisant référence à des choses qui n'existent plus dans ce qui le précède.

• "En lisant le procédé [...] ci-dessous, on voit que [...]", "Cela n'est certainement pas le comportement souhaité, il est donc préférable de modifier la fonction [...]" j'ai l'impression de lire un cours (ou plus précisément des Travaux Dirigés) d'un élève qui explique comment on résous un exercice sur le sujet. C'est gonflant à lire, les exemples sont bêtes à tel point que j'ai l'impression que le(s) écrivain(s) me prend/nent pour un collégien quand je lis ces exemples (qui ne sont pas, selon moi, des exemples mais des corrections expliquées d'exercices), je ne crois pas que ce soit le ton à aborder dans une encyclopédie. Trop de "on" partout.

Sylvainm86 (d) 30 juillet 2013 à 21:02 (CEST)

tu as raison sur les deux points (ou presque).

L'introduction a été modifiée faisant perdre sa cohérence au reste.

Ces exemples avaient pour but de «prendre le lecteur par la main» (l'exemple était déjà là quand je suis arrivée, mais je suis à l'origine de la modification « En lisant etc. on voit que...». je conçois que ce soit exaspérant quand on maitrise le sujet mais pour celui qui ne connait rien sur les fonctions logiques, cela peut rendre le discours plus accessible (encyclopédique ne doit pas signifier inaccessible au profane). Cependant c'est mon vieux côté pédagogue qui s'exprime là et la place des exemples sur l'encyclopédie est sujette à débat. Donc je n'interviendrai pas si tu décides de supprimer les exemples tout en regrettant la perte d'accessibilité que cela risque d'induire. L'idéal serait de trouver un compromis préservant l'accessibilité en éliminant le ton qui te semble bêtifiant. Mais comme je ne vois pas comment faire, je te laisse un peu seul pour opérer la modification qui te paraitra la meilleure. HB (d) 30 juillet 2013 à 21:38 (CEST)

Je n'allais pas jusqu'à proposer une suppression de ces exemples. Ils rendent la chose plus concrète. Et je suis d'accord avec toi qu'un article encyclopédique n'est pas destiné à n'être compris que par ceux qui connaissent déjà bien le sujet. J'ai posté mes remarques au lieu de m'entraîner dans des modifications car je mets toujours trop de temps à modifier pas grand chose (sauf quand c'est de l'orthographe), alors là je ne m'y aventure même pas.

En tout cas, je pense qu'éliminer les "on on on on" est primordial (et serait peut-être suffisant pour "le" compromis). Sylvainm86 (d) 30 juillet 2013 à 21:53 (CEST)

Ça je peux le faire en attendant. HB (d) 30 juillet 2013 à 22:43 (CEST)

Effectivement, ça change bien. Je pense que je n'aurais pas fait de remarque dans cette situation.Sylvainm86 (d) 1 août 2013 à 22:13 (CEST)

Question

Est-ce que je deviens fou ou bien le 2ème exemple de la propriété de distributivité est faux ? : a +( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Il ne me semble pas que la formule ci-dessus soit vraie…

Non c'est correct en algèbre de boole binaire, si a est à "1" alors dans les deux cas la formule vaut 1. Si a est à 0 alors il faut que a et c soient tous les deux à 1 pour que les deux côtés de l’équation valent 1. Faites une table de vérité si vous n'êtes pas convaincus ... — TomT0m ^[bla] 23 septembre 2015 à 15:14 (CEST)

On peut raisonner avec les règles de calcul, en notant que a.a = a = a.1 : (a+b).(a+c) = a.a + a.c + b.a + bc = a.(1+b+c) + bc = a.1 + bc = a+bc — Wikiwill (discuter) 17 juin 2021 à 10:05 (CEST)

Tardives suggestions

La page n'est pas fausse, mais, peu réaliste, se perd dans les détails, et a déjà soulevé nombre de remarques.

Opérateurs

Distinguer les opérateurs (usage massif, propriétés claires) et les fonctions (quelconques). Tabuler les notations en distinguant (1) le nom (2) la notation usuelle retenue (3) les autres notations. On pourrait de même tabuler les propriétés générales : associativité, commutativité, élément neutre, élément absorbant, idempotence, distributivité(s), auxquelles s'ajouteraient quelques propriétés spécifiques.

• opérateurs fondateurs : et, ou, non (algèbre de Boole);
• ouExclusif : avec le 'et', il permet une approche anneau de Boole ;
• opérateurs suffisants à eux seuls
  • soit NI soit ON (Sheffer, Pierce, Ivanescu) (--> versions électroniques à n entrées, commutatives mais non associatives)
• autres opérateurs binaires/dyadiques
  • impl, equ du calcul propositionnel ; inh/sauf
• opérateurs triadiques :
  • sélecteur booléen (-> arbres de décision)
  • majorité (-> addition, multiplication binaire ; outils à seuil -> neurones formels)

Relation d'ordre

Introduire éventuellement l'ordre large "<=", en notant qu'ici tout produit est inférieur à ses facteurs, et que a <= b entraîne a+b = b. "<=" est alors l'image algébrique de l'implication, et (a --> b ) ===> ( a<= b) ===> ( a + b = b).

Formulaire

Distinguer les formules fondatrices des formules déduites.

Notations

• pour le OU, le terme traditionnel de disjonction est très malheureux (jusqu'à engendrer une disjonction exclusive!) et je me demande si adjonction ne serait pas préférable.
• Utiliser si possible $\mathbb {B} =\{0,1\}$
• Pour la complémentation, Eviter la notation surlignée : (a+g(b+c')'+def)' est plus facile à taper que ....

Tables de Vérité

Peu utilisables au-delà de 5 variables (32 lignes). La somme binaire de 2 octets demande 9 fonctions de 17 variables (2x8 + report).

Dualité

S'interprète comme effet de la permutation des 0 et des 1. Au delà de la règle d'Occam/De Morgan, la notion de dualité des fonctions, des opérateurs duaux (ET/OU, NI/ON, OUEX/EQUIV...), autoduaux (MAJ)... peut expliquer/justifier nombre de formules de complémentation.

Principe des 2 couches

Toute somme de monômes peut être réalisée par une double couche de ON, tout produit de sommes peut être réalisé par une double couche de NI, toute fonction peut être réalisée par sommation (OUEX) de produits (ET) de variables. En effet, a'+bcd =(a.(b'+c'+d'))'=(ab'+ac'+ad')' = (a'+b)(a'+c)(a'+d)
mais aussi a'+bcd = a'(+) bcd (+) a'bcd = 1(+) a (+)abcd.

Fonction logique

Laissons à cette autre page la spécification des fonctions booléennes (complètes ou partielles) et la question de leur synthèse selon les opérateurs imposés, synthèse optimisable en fonction de coûts dépendants de l'environnement du problème. --Lf69100 (discuter) 15 octobre 2015 à 14:43 (CEST)

Cette partie est fausse mal expliquée :

Mal détaillé:

Grâce à ces propriétés, les calculs peuvent être simplifiés :

• $b.(b+a)=b.b+b.a=b+b.a=b.1+b.a=b.(1+a)=b.1=b$
• $a+{\overline {a}}.b=a.1+{\overline {a}}.b=a.(1+b)+{\overline {a}}.b=a.1+a.b+{\overline {a}}.b=a+(a+{\overline {a}}).b=a+1.b=a+b$
• $a.({\overline {a}}+b)=a.{\overline {a}}+a.b=0+a.b=a.b$

Corrigé:

Grâce à ces propriétés, les calculs peuvent être simplifiés :

• $b.(b+a)=b.b+a.b=b+a.b=b.1+a.b$, on factorise b : $=>b.(1+a)=b.(1)=b$ donc la première ligne n'était pas assez détaillée.
• $a+{\overline {a}}.b=a.1+{\overline {a}}.b=[a.(1+b)]+{\overline {a}}.b=[a.1+a.b]+{\overline {a}}.b=a+a.b+{\overline {a}}.b$, on factorise b:$=>a+[a.b+{\overline {a}}.b]=a+[b.(a+{\overline {a}})]=a+b.(1)=a+b$ donc la 2ème ligne n'était pas assez détaillée. Surtout qu'en math on met les facteurs avant le polynome factorisé...
• $a.({\overline {a}}+b)=a.{\overline {a}}+a.b=0+a.b=a.b$ La dernière ligne était juste ...

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 90.52.153.217 (discuter), le 1 juillet 2021 à 22:49

Non pas d'angoisse, les affirmations premières sont justes. Les affirmations secondes sont visiblement fausses(une simple table de vérité permet de les invalider). L'assemblage se fait selon les règles de priorité : "." a préséance sur "+". Si on ne les admet pas il faudrait surcharger les expressions de parenthèses. HB (discuter) 2 juillet 2021 à 13:35 (CEST)

oui effectivement en y réfléchissant et en faisant les schémas électriques dans ma tête je me suis rappelé que les + provoquaient une segmentation. Du coup j'ai eu faux, mais le calcul original n'est pas correct non plus dans la méthode sur la première ligne ou simplifié trop rapidement sans raison. J'ai donc corrigé ma correction et décomposé le calcul. Pour la 2ème ligne même si le résultat est juste je ne comprends pas comment vous faites apparaitre +b au milieu de la 3ème itération et a.b au milieu de la 4ème itération de l'équation ? --90.52.153.217 (discuter) 3 juillet 2021 à 07:03 (CEST)

J'ai compris et c'est du grand n'importe quoi .... donc j'ai corrigé. 90.52.153.217 (discuter) 3 juillet 2021 à 07:14 (CEST)

J'avoue que j'ai du mal à comprendre votre traitement des parenthèses où vous semblez croire que a.b + c.d peut se lire indifféremment (a.b) + (c.d) ET a.(b+c).d. Or ces deux expressions sont fondamentalement différentes et, par les convention des priorités, a.b + c.d n'est l'écriture simplifiée que de la première expression. Pour répondre à votre interrogation première:

Concernant la première égalité, une simple factorisation (comme en algèbre) suffit : b + a.b = (b.1) + (a.b) = b.(1+a) = b

Concernant la seconde égalité, je suis assez d'accord que l'introduction des termes du milieu semble artificielle. cela l'est moins si on regarde l'égalité dans l'autre sens, en remarquant que b se décompose en $(a.b)+({\overline {a}}.b)$(pour vous je remets les parenthèses pour que vous ne soyez pas tenté d'en mettre d'autres)

$a+b=a+(a.b)+({\overline {a}}.b)$

puis en remarquant que a + (a.b) = a.(1+b) = a (comme dans la première égalité), on obtient

$a+b=a+(a.b)+({\overline {a}}.b)=[a.(1+b)]+({\overline {a}}.b)=a+({\overline {a}}.b)$

Maintenant, il me semble, avec le recul de plusieurs années, qu'un article de WP devrait se placer plus dans le registre encyclopédique (en sourçant même les exemples, surtout s'ils semblent obscurs) que dans celui du cours. HB (discuter) 3 juillet 2021 à 07:53 (CEST)

Remarque : c'est le résultat de modifications récentes (17 juin) pas toutes très heureuses, il s'agit plutôt je pense de règles de simplification que d'exemples, les justifications algébriques laborieuses, qui ont été introduites alors, n'ont guère d'intérêt à mon avis. Proz (discuter) 3 juillet 2021 à 10:09 (CEST)

Je suis revenu à une version sans justification (mais enfin au pire des tables de vérité de 8 lignes donnent la solution). Le traitement laborieux de la seconde égalité (les deux dernières égalités sont duales et peuvent se traiter de façon parallèle) n'est vraiment pas heureux de toute façon. Proz (discuter) 3 juillet 2021 à 11:16 (CEST)

Alors la factorisation n'est pas évidente de prime abord dans les 2 ligne. Faut les expliquer !

Il est clair que je préfère réduire les équations avec les tableaux de Karnaugh, c'est bien plus facile, rapide et fiable. --90.52.153.217 (discuter) 3 juillet 2021 à 18:44 (CEST)

Bon alors après avoir suivis votre méthode pour faire des schémas électriques et logiques. J'en conclus que oui, traditionnellement, algébriquement et électriquement la fonction ET est prioritaire sur la fonction OU.

Par contre en informatique les fonctions sont le plus souvent (c'est dépendant du compilateur) en lecture de gauche à droite. Par conséquent quand la fonction $b.b+b.a$ électriquement vaut b, en informatique elle sera évaluée $a.b$ parce qu'en informatique logiquement parlant les fonctions ET et OU ne sont pas priorisés dans les compilateurs et sont enchainé les unes derrière les autres. Traduit en C/C++ b&&b||b&&a donne le résultat de $(((b.b)+b).a)$ soit $a.b$. En conclusion selon que l'on parle à un informaticien ou à un automaticien les fonctions logiques n'ont pas la même priorisation et il serait souhaitable d'expliciter les parenthèses et les factorisations au risque de voir des informaticiens ne pas comprendre vos expressions d'algèbre booléen.--90.52.153.217 (discuter) 14 juillet 2021 à 23:25 (CEST)

J'ai regardé si votre remarque pouvait conduire à une amélioration de l'article mais

1. l'article précise d'emblée qu'on se place dans le cadre des maths
2. l'article indique déjà explicitement les priorités des opérateurs + et . (il est regrettable qu'il n'évoque pas la préséance de la négation, même si le vinculum joue le rôle d'une parenthèse)
3. je m'apprêtais à ajouter une remarque sur le fait que cette priorité n'était pas respectée par tous les langages de programmation en particulier C++. Mais, en cherchant des sources, j'ai trouvé ça pour C++ et ça pour Python qui semblent indiquer que les deux langages respectent les priorités annoncées. Donc je n'en ferai rien sans source très solide (livre sur C++ ou manuel du langage)

HB (discuter) 15 juillet 2021 à 08:04 (CEST)

Complément Comme le doute chez moi est une seconde nature, j'ai poursuivi mes recherches. Sur C++, j'ai la chance d'avoir accès au Bjarne Stroustrup (Paris 1989) qui précise les ordres de précédence (p. 102) avec entre autres, && prioritaire sur ||, et une recherche sur le net confirme que la priorité est identique pour PHP, Java, C#, VB.NET, Ruby... Conclusion: amha ne rien changer sur ce point à l'article (et un conseil donné par un informaticien des mes connaissances : en programmation, mettre des parenthèses car cela limite les erreurs humaines et facilite la compréhension du code pour ceux qui vont maintenir le programme) . HB (discuter) 16 juillet 2021 à 08:24 (CEST)

Cori-Lascar ?

Réponse à Diff #191734684 : je crois que cette référence est plutôt adaptée à l'article Algèbre de boole (structure), qu'à celui-ci, le théorème de Stone est traité là bas. Proz (discuter) 9 mars 2022 à 22:50 (CET)

Oui en effet ! Ce présent article, au moins en l'état (l'article anglais est bcp plus général) ressemble plus à une n_ième présentation du calcul propositionnel centré sur le système complet de connecteurs {vrai, faux, non, et, ou inclusif}. L'article Algèbre de Boole (structure), que je découvre, est plus proche de l'angle d'attaque du Cori et Lascar qui est de définir, une "algèbre de Boole" comme un anneau de Boole (article doublon ?) donc avec {vrai, faux, non, et , ou exclusif}. Je supprime donc la ref au Cori et Lascar ici, mais importe dans l'autre article les améliorations biblio faites par Anne. --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 10 mars 2022 à 00:41 (CET)

Proposition de changement de notations

Si ce présent article a pour vocation durable de ne parler que du système {vrai, faux, non, et, ou inclusif} autant utiliser les notations usuelles soient :

• "∧" pour la conjonction
• "∨" pour la disjonction inclusive

et non les notations "+" et "." usuelles pour parler d'anneaux comme ceux de Boole (voir section du dessus).

Cela aura aussi l'immense avantage, vu les modifications de ces derniers jours, de faire comprendre aux lecteurs de cet article qui demeure élémentaire, qu'on ne parle pas de l'addition et de la multiplication usuelles sur les entiers ou les réels et qu'on a bien :

• $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)$ _____________________(1)

car cela doit être lu comme :

• a ∨ (b ∧ c) <==> (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)_____________________________________(2)

Bref, êtes vous ok pour remplacer les écritures comme (1) par des écritures comme (2) dans l'article ? Pis si oui, qui s'y colle (c'est fatiguant avec risque d'erreur importante ; mais bon on va tous relire) ;-) ? --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 10 mars 2022 à 01:15 (CET)

Personnellement, je ne m'y oppose pas mais je n'en sens pas l'utilité. Cette notation est extrêmement courante et est présente sur l'article depuis quasiment sa création. Les sources utilisent les notations plus faciles à lire + et . (du moins c'est le cas du vieux bouquin que j'ai sous les yeux :Introduction à l'algèbre de Boole et aux dispositifs logiques de Heiweil et Hoernes). On va s'embêter à réécrire tout l'article (sans moi) alors qu'il suffirait d'écrire en clair l'avertissement concernant le comportement de + comme il figurait au moins jusqu'à 2013[2]. HB (discuter) 12 mars 2022 à 10:12 (CET)