Discussion:Équation du viriel

paragraphe boules dures

--Guerinsylvie (discuter) 7 avril 2015 à 18:06 (CEST) Bonjour, je viens de l'article Pression cinétique. J'y avais écrit des choses que j'ai donc rapatriées. Bien sûr B2 = 4 et B3 = 10 sont des calculs aisés. B4 est un "tour de force" de Boltzmann, dixit Hansen repris de Rowlinson : ...

Les coef ont été calculés par McCoy , et aussi Malijevski.

Mes références sont essentiellement :

• Hansen et McDonald, theory of simple liquids, OxUP(2013)

• Mulero, lecture notes in physics 753, SpV(2008)

• McCoy,advanced stat mech , OxUP(2010)

• Reichl, modern course in stat phy, Wiley(2009)

Bonjour. Oui, c'est bien mais qu'entendez-vous par B4, B5...? Mettez-vous à la place des lecteurs.--Verbex (discuter) 7 avril 2015 à 20:07 (CEST)

voilà j'espère avoir corrigé.

Calcul de B2 et B3 pour mémoire : ce calcul est fait par exemple dans le Reichl. --Guerinsylvie (discuter) 8 avril 2015 à 20:57 (CEST)

B2 = -N/2V int f(1,2) sur R^6

B3 = -N²/3V int f(1,2)f(2,3)f(3,1) , sur R^9

B4 = -N^3/4V int 3 f(12)f(23)f(34)f(41)+ 6 f(12)f(13)f(14)f(23)f(34) + f(12)f(13)f(14)f(23)f(24)f(34) sur R^12

où les f(i,j) sont les fonctions de Mayer usuelles. Ici j'ai recopié le développement de Ursell au plus bas ordre, sans fioriture.

Le calcul de B4 est un "tour de force" ( Boltzmann, vers 1900 ). Mais B2 et B3 sont faciles :

B2 = N/2 . int {de 0 à d=2ro} dr^3. (1) . OK

B3 = N²/3V int {de 0 à d=2ro} dr^3. J(r) , avec J(r) = 2 volume de la calotte = Pi/3 (4d^3 -3d²r+r^3/4), cf exercice classique du Bepc. OK, ça marche.

correction pour Verbex :--Guerinsylvie (discuter) 9 avril 2015 à 17:05 (CEST) : bonjour, voilà c'est fait. Je ne sais pas si cela apporte plus ! Par ailleurs, j'ai rajouté un petit paragraphe sur la condensation, car j'ai observé, en lisant la Wp sur ce sujet, que cela manque dramatiquement. Or cela fait partie des exercices classiques que de calculer le "point critique". Ici, on trouve Vc = (2ro)^3.N. 1/(0.25) , kTc = a/(2ro)^3.(0.18), et donc Zc =0.36, au lieu des valeurs par simulation : 0.34 et 0.25 et Z = 0.28 { ref : Camp, Phys Rev E,67,015003(2003) in Hansen-2013, p.185 }. Si j'ai le temps, je calculerai Ps(T), ça doit être marrant comme kholle.--Guerinsylvie (discuter) 9 avril 2015 à 17:05 (CEST)

Merci pour ces précisions. C'est beaucoup plus clair.--Verbex (discuter) 9 avril 2015 à 20:23 (CEST)

je m'aperçois, en relisant votre (beau) tableau, qu'il y a décalage de notation entre le début de l'article et la fin. Sempiternel dilemme : on commence à B1 = 1 ? En fait, ce n'est pas à moi de changer la définition usuelle ! On appelle B4 LE coef qui commence à poser pb pour le calcul, donc il faut noter : P/kT = n + B2 n² + B3 n^3, et bien sûr B1 = 1. Je vous laisse changer ?

--Verbex (discuter) 11 avril 2015 à 21:27 (CEST)

Par ailleurs, en fouillant, pour l'occasion, le web, je trouve qu'il existe une wikipedia spécialisée en méca_stat qui s'appelle la SklogWiki, bcp plus complète que la Wp ! et qui renvoie à McCoy et Clisby, etc . Les calculs de Bn ont considérablement progressé vers 2004. Mais cela devient vraiment de la géométrie. Ce qui me pose à nouveau ce pb de physique : comment peut-on avoir une transition de phase entre des boules qui ne s'attirent pas ? je ne vois qu'un effet stérique du type "voute", mais j'avoue ma méconnaissance de ce sujet de géométrie. --Guerinsylvie (discuter) 11 avril 2015 à 19:17 (CEST)

Calculs de B2,B3,B4, pour Boules dures

--Guerinsylvie (discuter) 11 avril 2015 à 19:37 (CEST) : sur le net, on trouve des articles de la SklogWiki, de Clisby, etc , jusqu'à la dimension D= 12. Ce qui m'intéresse est surtout D=2, cf Tonks(1936), Rowlinson(), Lyberg(2006 ?), pour pouvoir le faire en exercice.

Bien sûr, on a compris que B2 était lié au volume de la boule en dimension_D. Et B3 à l'intersection de deux boules. Pour B4, c'est l'intersection de trois boules qui va intervenir, et sans doute etc . La géométrie commence à être "douloureuse".

Je relève ici pour mémoire les valeurs :

B2 = 1/2 π ( 2ro)²

B3/B2² = 4/3 - sqrt(3)/π = 0,782

B4/B2^3 = -1/8(carré complet) -3/4(carré_à_une_diagonale)-3/8(carré)

ou bien en notation Ree&Hoover = 1/4 Phi -3/8 Psi, avec

Phi = 8 - 12sqrt(3)/π + 8/π² = 2,1946...

Psi = 4 sqrt(3)/π -64/3π² = 0,4379...

soit 0,5322 au total.

Il me semble que ce calcul de géométrie doit être jouable en L3 , si on précise la figure ( cf Clisby ).

paragraphe Lennard-Jones

--Guerinsylvie (discuter) 9 avril 2015 à 19:16 (CEST) : Bonjour, je m'astreins à compléter ce paragraphe, grâce au Reichl (p 177), qui donne la valeur complète de B(T) : en unités réduites,

$B(T)=-\Sigma _{0}^{\infty }2/4n!\cdot \Gamma ((2n-1)/4)\cdot (1/kT)^{(2n+1)/4}$

ce qui permet de calculer B(T) et de tracer son graphe. Linda Reichl donne les valeurs numériques ; faire attention : le graphe est tracé en coordonnées semi-log B(T) = f( logT).

Ce qui intéressant dans ce graphe est d'avoir un maximum. Ce qui permet de discuter du pseudo-paradoxe de Joule : si ce sont des boules dures, il ne peut y avoir de maximum. Mais ici, précisément ce sont des boules molles. Et il faut faire la distinction u(<r>) et <u(r)> ! Ainsi, très logiquement, B est d'abord négatif, puis positif , MAIS présente un maximum. Questions classiques de Capes.