Coupe maximum

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En théorie des graphes et en algorithmique, une coupe maximum est une coupe contenant au moins autant d'arêtes que n'importe quelle autre coupe. Une extension de la définition consiste à considérer des poids associés aux arêtes. On considère alors la coupe ayant le poids total maximum.

Les coupes maximums sont des objets utiles notamment en physique théorique et en électronique. Mais elles sont surtout connues pour le problème algorithmique qui consiste à trouver une coupe maximum, appelé couramment MAX-CUT, un problème relativement bien étudié, notamment dans le contexte de l'approximation.

Définition de l'objet et remarques préliminaires[modifier | modifier le code]

Coupes et poids[modifier | modifier le code]

Une coupe maximum

Étant donné un graphe, et des poids sur les arêtes, une coupe peut-être décrite comme un ensemble de sommets, et le poids de la coupe est alors la somme des poids des arêtes ayant une extrémité à l'intérieur de cet ensemble et l'autre à l'extérieur. Une coupe est maximum si son poids est maximum (parmi toutes les coupes).

Un cas particulier est celui de la coupe de cardinalité maximum, qui correspond à des poids égaux à 1. Dans ce cas le poids d'une coupe est simplement le nombre d'arêtes.

Remarques[modifier | modifier le code]

Remarquons qu'a priori il peut y avoir plusieurs coupes maximums, c'est-à-dire plusieurs coupes différentes mais de même cardinal : le cardinal maximum.

On peut aussi considérer l'objet « jumeau » qui est la coupe minimum, et qui a des propriétés complètement différentes, par exemple la relation donnée par le théorème flot-max/coupe-min.

Une généralisation de l'objet est la k-coupe maximum : on considère alors non pluss deux composantes mais k composantes[1].

Définition du problème algorithmique[modifier | modifier le code]

Définition classique[modifier | modifier le code]

On considère le problème d'optimisation combinatoire suivant :

Étant donné un graphe G, trouver une coupe maximum.

Et le problème de décision associé :

Étant donné un graphe G et un entier k, existe-t-il une coupe de poids au moins k ?

On considère le plus souvent des poids positifs rationnels[2].

Écriture en équation[modifier | modifier le code]

Le problème peut-être reformulé sous forme d'équations à satisfaire. Cette écriture permet notamment de rapprocher le problème de la conjecture des jeux uniques[3].

Pour chaque arête (x_i,x_j) du graphe, on considère l'équation x_i - x_j = 1 [2]. Le problème de la coupe maximum consiste alors à donner une affectation binaire aux variables (x_i)_i, qui maximise le nombre d'équations vérifiées.

Résolution exacte[modifier | modifier le code]

NP-complétude[modifier | modifier le code]

Le problème MAX-CUT est NP-complet[4]. La version dans laquelle les arêtes ont des poids fait partie des 21 problèmes NP-complets de Karp[5], où l'on fait une réduction depuis le problème d'ordonnancement job shop scheduling (en), lui-même réduit du problème du sac à dos.

Algorithmes efficaces pour des cas particuliers[modifier | modifier le code]

Pour les graphes planaires, le problème peut être résolu en temps polynomial[6], car il se réduit à un problème de couplage maximum lui-même polynomial (par exemple avec l'algorithme d'Edmonds). C'est un résultat important pour les applications.

Dans le cas des graphes denses, on peut définir un schéma d'approximation en temps polynomial (PTAS)[7].

Approximation[modifier | modifier le code]

Algorithmes[modifier | modifier le code]

Un algorithme probabiliste très simple permet d'obtenir un ratio 1/2 : chaque nœud choisit indépendamment et uniformément de quel coté de la coupe il va être. Chaque arête a une probabilité 1/2 d'être dans la coupe, ainsi on obtient au moins la moitié la valeur de la coupe maximum en espérance. Cet algorithme peut-être dérandomisé pour obtenir un algorithme déterministe, grâce à la méthode des probabilités conditionnelles (en)[8].

Une meilleure approximation peut être atteinte en faisant appel à des techniques plus élaborées. L'algorithme de Goemans et Williamson, permet d'atteindre un ratio \alpha \approx 0.878, où plus exactement \alpha = \tfrac{2}{\pi} \min_{0 \le \theta \le \pi} \tfrac{\theta}{1 - \cos \theta} en utilisant l'optimisation semi-définie positive[9],[10].

Complexité et non-approximabilité[modifier | modifier le code]

Le problème est difficile à approximer, plus précisément il est APX-hard (en)[11]. En conséquence, il ne possède pas de PTAS, sauf si P=NP, mais il existe des algorithmes d'approximation ayant des ratios constants.

Subhash Khot, Guy Kindler, Elchanan Mossel et Ryan O'Donnell ont montré qu'en supposant la conjecture des jeux uniques (Unique Games Conjecture) l'approximation de Goemans et Williamson est optimale[12]. En supposant seulement que P est différent de NP, on obtient une limite à 16/17[13],[14].

Autres modèles de calcul[modifier | modifier le code]

Le problème a aussi été étudié du point de vue des algorithmes de streaming[15].

Applications[modifier | modifier le code]

La coupe maximum est un objet assez naturel qui trouve des applications en physique statistique et en intégration à très grande échelle notamment[16].

Modèle d'Ising[modifier | modifier le code]

L'une des applications est le modèle d'Ising, les sommets du graphe représentent les atomes et les arêtes représentent les interactions non négligeables. Chaque atome a un spin, up ou down, et les interactions définissent alors des poids. Les coupes maximums correspondent alors aux états d'énergie minimale[17],[18].

Problème de Pinter[modifier | modifier le code]

Le problème de Pinter consiste à placer des fils des deux cotés d'une plaque, sans intersections, en minimisant le nombre fils traversant la plaque[19]. Ce problème peut lui aussi être décrit comme un problème de coupe maximum[20].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Ouvrages généraux[modifier | modifier le code]

  • (en) Giorgio Ausiello, Pierluigi Crescenzi, Giorgio Gambosi, Viggo Kann, Alberto Marchetti-Spaccamela et Marco Protasi, Complexity and Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties, Springer,‎ 2003f
  • Samir Khuller, Balaji Raghavachari et Neal E. Young, « Greedy methods », dans Handbook of Approximation Algorithms and Metaheuristics, Chapman,‎ 2007.
  • Michael Mitzenmacher et Eli Upfal, Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis, Cambridge,‎ 2005.
  • Rajeev Motwani et Prabhakar Raghavan, Randomized Algorithms, Cambridge,‎ 1995.

Articles sur le problème algorithmique[modifier | modifier le code]

  • (en) Subhash Khot, Guy Kindler, Elchanan Mossel et Ryan O'Donnell, « Optimal inapproximability results for MAX-CUT and other 2-variable CSPs? », SIAM Journal on Computing, vol. 37, no 1,‎ 2007, p. 319-357 (DOI 10.1137/S0097539705447372)

Sur les applications[modifier | modifier le code]

  • Frédéric Meunier et Andras Sebo, « Parcours et coupes », dans Graphes et applications-vol. 2, JC Fournier,‎ 2007 (lire en ligne)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Vijay Vazirani, Approximation algorithms, Springer Verlag,‎ 2001 (puis 2003), 380 p. (ISBN 978-3-540-65367-7), chap. 2.4 (« Set Cover : Exercises ») p. 23.
  2. (en) Vijay Vazirani, Approximation algorithms, Springer Verlag,‎ 2001 (puis 2003), 380 p. (ISBN 978-3-540-65367-7), chap. 26 (« Semidefinite Programming »).
  3. Cette remarque est présente dans le billet de Tim Gowers sur le prix Nevanlinna 2014. Il cite lui-même une présentation de Johan Håstad.
  4. (en) Michael Garey et David S. Johnson, Computers and Intractability : A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman,‎ 1979 (ISBN 0-7167-1045-5)
  5. Richard M. Karp, « Reducibility among combinatorial problems », dans Complexity of Computer Computation, Plenum Press,‎ 1972, p. 85-103
  6. (en) F. Hadlock, « Finding a Maximum Cut of a Planar Graph in Polynomial Time », SIAM Journal on Computing, vol. 4,‎ 1975, p. 221–225 (DOI 10.1137/0204019, lire en ligne)
  7. Voir l'article suivant, notamment pour la définition précise de "dense" : (en) Wenceslas Fernandez de la Vega et Marek Karpinski, « Polynomial time approximation of dense weighted instances of MAX-CUT », Random Structures and Algorithms, John Wiley \& Sons, Inc., vol. 16, no 4,‎ 2000, p. 314-332.
  8. (en) Teofilo F. Gonzalez, Daya Ram Gaur et Ramesh Krishnamurti, Handbook of Approximation Algorithms and Metaheuristics, Chapman & Hall/CRC,‎ 2007 (lire en ligne), « LP rounding and extensions », section 4.10.1
  9. Article original : (Goemans et Williamson 1995)
  10. Explication en français : (Meunier et Sebo 2007).
  11. (en) Christos H. Papadimitriou et Mihalis Yannakakis, « Optimization, approximation, and complexity classes », Journal of Computer and System Sciences, vol. 43, no 3,‎ 1991, p. 425–440 (DOI 10.1016/0022-0000(91)90023-X)
  12. (en) Subhash Khot, Guy Kindler, Elchanan Mossel et Ryan O'Donnell, « Optimal inapproximability results for MAX-CUT and other 2-variable CSPs? », SIAM Journal on Computing, vol. 37, no 1,‎ 2007, p. 319-357 (DOI 10.1137/S0097539705447372).
  13. (en) Johan Håstad, « Some optimal inapproximability results », Journal of the ACM, vol. 48,‎ 2001, p. 798–859 (DOI 10.1145/502090.502098)
  14. (en) Luca Trevisan, Gregory Sorkin, Madhu Sudan et David Williamson, « Gadgets, Approximation, and Linear Programming », dans Proceedings of the 37th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science,‎ 2000, p. 617-626.
  15. Michael Kapralov, Sanjeev Khanna et Madhu Sudan, « Streaming Lower Bounds for Approximating {MAX-CUT} », dans Proceedings of the Twenty-Sixth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, (SODA) San Diego, CA, USA, January 4-6, 2015,,‎ 2015 (lire en ligne), p. 1263-1282
  16. Voir (en) Francisco Barahona, Martin Grötschel, Michael Jünger et Gerhard Reinelt, « An application of combinatorial optimization to statistical physics and circuit layout design », Operations Research, vol. 36, no 3,‎ 1988, p. 493-513 (DOI 10.1287/opre.36.3.493, JSTOR 170992).
  17. Cette application est tirée de (Meunier et Sebo 2007), qui contient une explication plus complète.
  18. Cette application a été décrite pour la première fois dans : (en) Francisco Barahona, R Maynard, R Rammal et JP Uhry, « Morphology of ground states of two-dimensional frustration model », Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 15, no 2,‎ 1982, p. 673
  19. Voir Ron Yair Pinter, « Optimal layer assignment for interconnect », Journal of VLSI and computer systems, Computer Science Press, vol. 1, no 2,‎ 1984, p. 123-137.
  20. Voir (Meunier et Sebo 2007). La dénomination "problème de Pinter", provient elle aussi de ce document.

Liens externes[modifier | modifier le code]