Couplage (théorie des graphes)

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En théorie des graphes, un couplage ou appariement (en anglais matching) d'un graphe est un ensemble d'arêtes de ce graphe qui n'ont pas de sommets en commun.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit un graphe simple non orienté G = ( S, A ) (où S est l'ensemble des sommets et A l'ensemble des arêtes, qui sont certaines paires de sommets), un couplage M est un ensemble d'arêtes deux à deux non adjacentes. C'est-à-dire que M est une partie de l'ensemble A des arêtes telle que \forall (a,a') \in M^2,\qquad a\ne a'\Rightarrow a\cap a'=\varnothing~.

Un couplage maximum est un couplage contenant le plus grand nombre possible d'arêtes. Un graphe peut posséder plusieurs couplages maximum. Les images suivantes montrent des couplages maximums.

Maximum-matching-labels.svg

Un couplage maximal est un couplage M du graphe tel que toute arête du graphe possède au moins une extrémité commune avec une arête de M. Ceci équivaut à dire dans l'ensemble des couplages du graphe, M est maximal au sens de l'inclusion, i.e. que pour toute arête a de A qui n'est pas dans M, M\cup\{a\} n'est plus un couplage de G. Les images suivantes montrent des couplages maximaux.

Maximal-matching.svg

Un couplage parfait ou couplage complet est un couplage M du graphe tel que tout sommet du graphe est incident à exactement une arête de M.

Propriétés et théorème[modifier | modifier le code]

Un graphe, même fini, ne possède pas toujours de couplage parfait (en particulier, un graphe ayant un nombre impair de sommets ne peut avoir un couplage parfait). Tout couplage parfait est maximum et tout couplage maximum est maximal (mais les réciproques sont fausses).

Le théorème de Hall ou lemme des mariages, donne une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un couplage parfait dans un graphe biparti.

Le théorème de König exprime l'égalité de deux paramètres, la taille du transversal minimum (i. e. de la couverture par sommets minimum) et la taille du couplage maximum, dans le cas des graphes bipartis

Le théorème de Petersen énonce que tout graphe cubique sans isthme possède un couplage parfait[1].

Aspects algorithmiques[modifier | modifier le code]

Il est possible de trouver un couplage de cardinal maximum en temps polynomial dans un graphe quelconque grâce à l'algorithme d'Edmonds[2]. Le cas particulier des graphes bipartis peut être résolu en utilisant des chemins augmentants, ou par l'algorithme d'Hopcroft-Karp (en).

Étant donné un graphe biparti ayant avec des poids sur les arêtes, le problème qui consiste à trouver un couplage de poids maximum (ou couplage parfait de poids minimum) est appelé problème d'affectation. Il existe plusieurs algorithmes pour ce problème dont l'algorithme hongrois.

Applications[modifier | modifier le code]

Un couplage peut être utilisé dans les problèmes d'affectation des tâches et ce pour avoir une efficacité maximale, par exemple, chaque tâche est attribuée à une seule machine ou vice versa. La recherche d'un couplage maximum dans un graphe biparti est d'ailleurs appelé le problème d'affectation.

Un couplage peut aussi être utilisé pour résoudre ou approcher des problèmes plus complexes comme celui du voyageur de commerce avec l'algorithme de Christofides.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Julius Peter Christian Petersen, « Die Theorie der regulären Graphs », Acta Mathematica, no 15,‎ 1891, p. 193–220 (DOI 10.1007/BF02392606, lire en ligne)
  2. Article original : Jack Edmonds, « Paths, trees, and flowers », Canad. J. Math., vol. 17,‎ 1965, p. 449–467 (DOI 10.4153/CJM-1965-045-4)

Articles connexes[modifier | modifier le code]