Chiffre de Hill

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En cryptographie symétrique, le chiffre de Hill est un modèle simple d'extension du chiffrement affine à un bloc. Ce système étudié par Lester S. Hill[1], utilise les propriétés de l'arithmétique modulaire et des matrices.

Il consiste à chiffrer le message en substituant les lettres du message, non plus lettre à lettre, mais par groupe de lettres. Il permet ainsi de rendre plus difficile le cassage du code par observation des fréquences.

Lester S. Hill a aussi conçu une machine capable de réaliser mécaniquement un tel codage[2].

Principe[modifier | modifier le code]

Chaque caractère est d'abord codé par un nombre compris entre 0 et n – 1 (son rang dans l'alphabet diminué de 1 ou son code ASCII diminué de 32). Les caractères sont alors regroupés par blocs de p caractères formant un certain nombre de vecteurs . Les nombres étant compris entre 0 et n – 1, on peut les considérer comme des éléments de et X est alors un élément de .

On a construit au préalable une matrice p × p d'entiers : A. Le bloc X est alors chiffré par le bloc Y = AX, le produit s'effectuant modulo n.

Pour déchiffrer le message, il s'agit d'inverser la matrice A modulo n. Cela peut se faire si le déterminant de cette matrice possède un inverse modulo n (c'est-à-dire, d'après le théorème de Bachet-Bézout, si det(A) est premier avec n).

En effet, le produit de A et de la transposée de sa comatrice donne (où désigne la matrice identité de taille p) donc s'il existe un entier k tel que

alors, en notant B n'importe quelle matrice congrue modulo n à k tcom(A), on aura

soit encore

Illustration sur un exemple simple[modifier | modifier le code]

On imagine dans cette section que chaque lettre est codée par son rang dans l'alphabet diminué de 1 et que le chiffrement s'effectue par blocs de 2 lettres. Ici n = 26 et p = 2.

Et l'on cherche à chiffrer le message suivant : TEXTEACRYPTER en utilisant une matrice A dont le déterminant est premier avec 26.

Pour construire une telle matrice, il suffit de choisir trois entiers a, b, c au hasard mais tels que a soit premier avec 26, ce qui permet de choisir le dernier terme d tel que ad – bc soit inversible modulo 26[3]. Pour la suite on prendra

dont le déterminant est 21. Comme 5 × 21 = 105 ≡ 1 (mod 26), 5 est un inverse de det(A) modulo 26.

Chiffrement[modifier | modifier le code]

On remplace chaque lettre par son rang à l'aide du tableau suivant :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Puis on code le message

TEXTEACRYPTER→ 19 ; 4 ; 23 ; 19 ; 4 ; 0 ; 2 ; 17 ; 24 ; 15 ; 19 ; 4 ; 17

On regroupe les lettres par paires créant ainsi 7 vecteurs de dimension deux, la dernière paire étant complétée arbitrairement :

On multiplie ensuite ces vecteurs par la matrice A en travaillant sur des congruences modulo 26 :

etc.

On obtient alors 7 vecteurs, soit 14 lettres :

(25 ; 0) ; (8;19) ; (12 ; 24) ; (13 ; 15) ; (17 ; 9) ; (25 ; 0) ; (3 ; 22)
ZAITMYNPRJZADW.

Déchiffrement[modifier | modifier le code]

Il faut inverser la matrice A. Il suffit de prendre la transposée de sa comatrice, c'est-à-dire

et la multiplier (modulo 26) par l'inverse du déterminant de A c'est-à-dire par 5 :

Connaissant les couples Y, il suffit de les multiplier (modulo 26) par la matrice B pour retrouver les couples X et réussir à déchiffrer le message.

Cryptanalyse[modifier | modifier le code]

Le cassage par force brute nécessiterait de tester toutes les matrices carrées inversibles soit matrices[4] dans les cas de matrices d'ordre 2 modulo 26. Ce nombre augmente considérablement si l'on décide de travailler avec des matrices 3 × 3 ou 4 × 4.

L'autre système consiste à travailler sur les fréquences d'apparition de blocs de lettres.

Dans l'exemple précédent, la paire ZA apparait 2 fois ce qui la classe parmi les paires les plus fréquentes qui sont ES, DE, LE, EN, RE, NT, ON, TE. Si l'on arrive à déterminer le chiffrement de 2 paires de lettres, on peut sous certaines conditions retrouver la matrice de codage A.

En effet, si l'on suppose connu le fait que est codé par et est codé par alors on peut écrire l'égalité matricielle suivante :

Si la seconde matrice est inversible, c'est-à-dire si est premier avec 26, alors on peut déterminer A par

Si l'on travaille avec des blocs de taille p, il faut connaitre le chiffrement de p blocs pour arriver à déterminer la matrice. Encore faut-il que ces blocs constituent une matrice inversible.

Sources[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lester S. Hill, « Concerning certain linear transformation apparatus of cryptography », American Mathematical Monthly, vol. 38, 1931, p. 135-154.
  2. (en) Copie du dépôt de brevet.
  3. Ou plus généralement : de choisir a et b tels que PGCD(a, b, 26) = 1, puis u, v tels que au – bv ≡ 1 (mod 26), et de poser d = mu, c = mv pour un entier m premier avec 26.
  4. Selon cet exposé d'introduction à la cryptographie, université Lyon 1.