Catégorie opposée
En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la catégorie opposée ou catégorie duale Cop d'une catégorie C donnée est la catégorie formée en inversant les morphismes, c'est-à-dire en interchangeant la source et la but de chaque morphisme de C. En effectuant l’inversion deux fois, on obtient la catégorie d’origine ; en symboles, .
Exemples
[modifier | modifier le code]- Si (X,≤) est un ensemble partiellement ordonné, on peut lui associer une catégorie C(X,≤) dont les objets sont les éléments de X, avec une flèche fx,y de x vers y si x≤y. Alors la catégorie opposée à C(X,≤) est la catégorie associé à l'ordre ≥, défini par
- x ≥ y si et seulement si y ≤ x.
- Étant donné un semi-groupe ( S, ·), on peut définir le semi-groupe opposé comme ( S, ·) op = ( S, *) où x * y ≔ y · x pour tout x, y dans S . Cette construction fonctionne également pour les groupes et pour les anneaux, appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau.
Propriétés
[modifier | modifier le code]La catégorie opposée préserve les produits :
La catégorie opposée préserve les foncteurs :
De plus, dans la catégorie opposée sont échangés sommes et produits, sommes amalgamées et produits fibrés, limites inductives et limites projectives.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Dualité (théorie des catégories)
- Dualité (mathématiques)
- Foncteur adjoint
- Foncteur contravariant
- Foncteur opposé
Références
[modifier | modifier le code]- H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, 3rd Edition, Heldermann Verlag, (ISBN 978-3-88538-001-6), p. 99.
- O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi, World Scientific, 1991, p. 8.
- (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
- Steve Awodey, Category theory, Oxford, 2nd, , 53–55 (ISBN 978-0199237180, OCLC 740446073, lire en ligne
)
