Approximation de Kubelka-Munk

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L’approximation de Kubelka-Munk, nommée d'après Paul Kubelka et Franz Munk, décrit l'absorption lumineuse et la réflexion diffuse de milieux hétérogènes.

Le modèle permet de prédire à partir de la mesure de deux couches d'épaisseur différente comment des couches d'autres épaisseurs agissent sur la lumière. La relation de Kubelka-Munk permet aux fabricants de revêtements d'estimer la quantité de pigment qu'il faut ajouter à une matière pour obtenir une couche opaque à une certaine épaisseur. Il permet de prévoir la couleur du mélange de deux colorants, si les paramètres d'absorption spectrale de chacun des composants sont connus, avec une meilleure approximation que l'application naïve du modèle de la synthèse soustractive des couleurs.

L'approximation de Kubelka-Munk, conçue pour les peintures, s'applique à de nombreux autres domaines : encres, papiers, textiles colorés ; analyse de peinture artistique, et autres.

Peintures[modifier | modifier le code]

La recherche initiale de Kubelka et Munk, conduisant à leur publication de 1931, concerne l'opacité des peintures blanches. Connaissant l'albedo d'une couche d'épaisseur infinie, en pratique telle qu'ajouter une couche ne change pas le résultat, on recherche celui d'une couche d'épaisseur plus mince, ainsi que sa capacité à atténuer un motif contrasté présent sur le subjectile, qui est son pouvoir couvrant.

Le modèle suppose que les propriétés des particules de pigment et celles du liant ne varient pas dans la plage de longueurs d'onde utile. Il vaut donc pour les matériaux d'apparence achromatique, blancs ou gris neutre. Pour des matières colorées, cela vaut pour un illuminant monochromatique. On doit effectuer les mesures et les calculs par bande de longueurs d'onde, et déduire de ces résultats la position colorimétrique de la couche de produit.

Il s'applique ainsi à l'étude des glacis en peinture artistique, couches modifiant la couche inférieure tout en la laissant paraître[1]. Dans l'étude d'œuvres anciennes, il évite de faire des hypothèses sur les pigments et les liants utilisés, sur lesquels on ne dispose pas d'informations suffisantes[2].

Présentation du modèle[modifier | modifier le code]

Lorsque la dimension des particules est largement supérieure à la longueur d'onde du rayonnement, les lois de la diffusion Rayleigh ne s'appliquent plus. Celles de la diffusion de Mie ne s'appliquent qu'avec difficulté aux particules de pigment dans une peinture. La théorie que Kudelka et Munk ont proposée s'éloigne de ces calculs basés sur la physique des rayonnements. Leur modèle se fonde sur des grandeurs photométriques mesurables (PRV).

Le modèle de Kudelka et Munk considère une couche élémentaire du matériau d'épaisseur dx, entre la surface et le support, sur laquelle arrive un flux lumineux diffus arrivant de la surface. À la limite de la couche élémentaire, côté surface, se propage un flux lumineux diffus en direction du support I et un flux lumineux diffus J en direction de la surface.

Le modèle propose deux constantes liées au matériau, K et S, et établit que

est la quantité de lumière que réfléchit un film d'une épaisseur suffisante pour qu'un accroissement de cette épaisseur ne change pas le résultat.

On pose

et

puis

est la réflexion mesurable sur un fond noir. Le modèle permet alors de déterminer la réflectance R de la couche

et se mesurent sur un échantillon du matériau.

Le modèle présente une épure de l'équation de transfert radiatif avec des hypothèses simplificatrices (Latour 2007, p. 57) :

Modèle Hypothèse correspondante
Tous les flux sont supposés diffus et isotropes La diffusion ne dépend pas de l'angle d'incidence, l'angle de diffusion est aléatoire.
Des coefficients caractérisent l'échantillon globalement L'échantillon est homogène. Les particules à l'origine de la diffusion n'apparaissent pas.
Il n'y a pas de notion d'indice de réfraction du milieu. Le calcul ne comporte pas de notion de réfraction ou de réflexion totale.

Ces simplifications, et les prévisions suffisamment précises obtenues avec les mesures sur les échantillons, ont fait le succès de la méthode Kubelka-Munk (Latour 2007, p. 59).

Évaluation critique[modifier | modifier le code]

Le modèle présente une certaine imprécision. Le paramètre S prend des valeurs variables suivant les conditions de mesure, en particulier selon la concentration pigmentaire (PRV2). Pourtant, l'introduction de valeurs approximatives dans des formules obtenues avec des hypothèses approximatives donne des résultats satisfaisants, au regard de la précision recherchée[3]. Dupuis 2008 donne une erreur relative moyenne de 3 %.

La validité générale de l'approximation de Kubelka-Munk a été mise en question. Les coefficients K et S semblent correspondre à la lumière en réflexion diffuse et celle absorbée, mais leur relation aux propriétés optiques n'est précisément déterminée. Il suffit au modèle qu'elle soit linéaire. Il apparaît que ce n'est pas toujours le cas. L'approximation ne se confirme pas dans le cas d'un système qui combine un matériau diffusant et peu absorbant, comme le papier, et un autre, peu diffusant, mais absorbant, comme l'encre[4]. Des équipes ont proposé des améliorations pour ce cas (Li et Kruse 2004).

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

moderne
  • Patrick Emmel, « Nouvelle formulation du modèle de Kubelka et Munk avec application aux encres fluorescentes », dans Actes de l’Ecole de Printemps 2000 - Le Pays d’Apt en Couleurs, 14-18 mars 2000, Apt et Roussillon, France, (lire en ligne), p. 87-96.
  • Jean Petit, Jacques Roire et Henri Valot, Encyclopédie de la peinture : formuler, fabriquer, appliquer, t. 2, Puteaux, EREC, , p. 198-202 « Diffusion (de la lumière) ».
  • Jean Petit, Jacques Roire et Henri Valot, Encyclopédie de la peinture : formuler, fabriquer, appliquer, t. 3, Puteaux, EREC, , p. 119-120 « Opacité ».
  • (en) Yang Li et Björn Kruse, « Revised Kubelka-Munk theory. I. Theory and application », Journal of the Optical Society of America, vol. 21, no 10,‎ (lire en ligne)
  • (en) William E. Vargas et Gunnar A. Niklasson, « Applicability conditions of the Kubelka–Munk theory », Applied optics,‎ (lire en ligne)
historique
  • (de) Paul Kubelka et Franz Munk, « Ein Beitrag zur Optik der Farbanstriche » [« Une contribution à l'optique des peintures »], Zeitschrift für technische Physik, no 12,‎ , p. 593–601.
  • (en) Paul Kubelka et Franz Munk, « An article on optics of paint layers », Z. Tech. Phys, vol. 12,‎ , p. 593-601 (lire en ligne)
  • Deane B. Judd et Gunther Wyszecki, Color in Business, Science and Industry [« La couleur dans les affaires, la science et l'industrie »], .

Liens web[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Gaël Latour, Les couches picturales stratifiées : analyse et modélisation de l’aspect visuel : Thèse doctorale de physique. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, (lire en ligne), p. 57sq.
  2. Guillaume Dupuis, « La technique picturale des peintres de la Renaissance italienne examinée par spectrophotométrie », L'actualité chimique, no 318,‎ , p. 22-27 (lire en ligne) (p. 25).
  3. PRV2 citant (en) L.A. Simpson, « Measuring opacity, part II: paints and coatings », Pigment and coatings journal,‎ .
  4. Li et Kruse 2004, Vargas et Niklasson 1997.