Produit de Kronecker

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En mathématiques, le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant

En d'autres termes

Ou encore, en détaillant les coefficients,

Exemple[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Bilinéarité, associativité[modifier | modifier le code]

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour , et , on a les équations suivantes :

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes et il existe deux matrices de permutation et telles que

Si de plus A et B ont la même taille, alors et sont équivalentes par permutation sur les vecteurs de la base :

est une matrice de permutation.

Propriétés sur le produit usuel[modifier | modifier le code]

La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits et  :

On peut en déduire que est inversible si et seulement si et sont inversibles, auquel cas :

Spectre[modifier | modifier le code]

En utilisant la propriété précédente on déduit que si et sont des vecteurs propres de A et B : et , alors :

Donc si et sont les valeurs propres de et , alors sont les valeurs propres de , en comptant la multiplicité.

En particulier :

Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang de la matrice.

Transposition[modifier | modifier le code]

On a la propriété suivante sur la transposée :

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Kronecker Product », MathWorld