Théorème de Mittag-Leffler

En analyse complexe, le théorème de Mittag-Leffler montre l'existence de fonctions méromorphes avec des pôles prescrits. Il se rapproche en cela du théorème de factorisation de Weierstrass, qui affirme l'existence de fonctions holomorphes avec des zéros prescrits. Il doit son nom au mathématicien suédois Gösta Mittag-Leffler.

Théorème

Soit $D$ un ouvert de $\mathbb {C}$ et $E\subset D$ un sous-ensemble discret fermé. Pour tout $a$ dans $E$, soit $p_{a}(z)$ un polynôme en $1/(z-a)$. Alors il existe une fonction méromorphe $f$ sur $D$ telle que, quel que soit $a\in E$, $f(z)-p_{a}(z)$ est holomorphe en $a$. En particulier, la partie négative du développement en série de Laurent de $f$ en $a$ est $p_{a}(z)$.

Ébauche de preuve

Nous donnons ici une ébauche de preuve. On remarque que dans le cas où $E$ est fini, il suffit de prendre $f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)$. Si $E$ n'est pas fini, on considère la somme finie $S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)$ où $F$ est un sous-ensemble fini de $E$. Même si $S_{F}(z)$ ne converge pas forcément quand F s'approche E, on peut toujours soustraire des fonctions rationnelles bien choisies dont les pôles ne sont pas dans D (données par le Théorème de Runge), sans changer la partie négative du développement en série de Laurent de $S_{F}(z)$, et ainsi garantir la convergence.

Exemple

Supposons que l'on veuille une fonction méromorphe avec des pôles simples de résidu 1 en tous les entiers positifs. Avec les notations précédentes, soit $p_{k}=1/(z-k)$ et $E=\mathbb {N}$. Le théorème de Mittag-Leffler prouve l'existence d'une fonction méromorphe $f$ dont la partie négative du développement en série de Laurent en $z=k$ sera $p_{k}(z)$ pour tout entier $k$. Cette fonction $f$ vérifie les propriétés souhaitées.