Théorème de Mittag-Leffler

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En analyse complexe, le théorème de Mittag-Leffler montre l'existence de fonctions méromorphes avec des pôles prescrits. Il se rapproche en cela du théorème de factorisation de Weierstrass, qui affirme l'existence de fonctions holomorphes avec des zéros prescrits. Il doit son nom au mathématicien suédois Gösta Mittag-Leffler.

Théorème[modifier | modifier le code]

Soit D un ouvert de \mathbb C et E \subset D un sous-ensemble discret fermé. Pour tout a dans  E, soit p_a(z) un polynôme en 1/(z-a). Alors il existe une fonction méromorphe f sur D telle que, quel que soit a \in E, f(z)-p_a(z) est holomorphe en a. En particulier, la partie négative du développement en série de Laurent de f en a est p_a(z).

Ébauche de preuve[modifier | modifier le code]

Nous donnons ici une ébauche de preuve. On remarque que dans le cas où  E est fini, il suffit de prendre  f(z) = \sum_{a \in E} p_a(z). Si E n'est pas fini, on considère la somme finie  S_F(z) = \sum_{a \in F} p_a(z) F est un sous-ensemble fini de E. Même si S_F(z) ne converge pas forcément quand F s'approche E, on peut toujours soustraire des fonctions rationnelles bien choisies dont les pôles ne sont pas dans D (données par le Théorème de Runge), sans changer la partie négative du développement en série de Laurent de S_F(z), et ainsi garantir la convergence.

Exemple[modifier | modifier le code]

Supposons que l'on veuille une fonction méromorphe avec des pôles simples de résidu 1 en tous les entiers positifs. Avec les notations précédentes, soit p_k = 1/(z-k) et E = \mathbb N. Le théorème de Mittag-Leffler prouve l'existence d'une fonction méromorphe f dont la partie négative du développement en série de Laurent en z=k sera  p_k(z) pour tout entier  k. Cette fonction f vérifie les propriétés souhaitées.

Notes et références[modifier | modifier le code]