Théorème de Cauchy-Hadamard

En mathématiques, le théorème de Cauchy–Hadamard est un résultat d'analyse complexe qui décrit le rayon de convergence d'une série entière. Il a été publié en 1821 par Cauchy mais est resté relativement méconnu jusqu'à sa redécouverte par Hadamard, qui le publia une première fois en 1888 puis l'inclut, en 1892, dans sa thèse.

Cas d'une seule variable complexe

Le rayon de convergence R d'une série entière à coefficients complexes

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

est donné par :

${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$,

où lim sup désigne la limite supérieure.

En particulier, si la suite (|a_n|^1/n) est non bornée alors R = 0 – c'est-à-dire que la série diverge partout ailleurs qu'en 0 – et si cette suite converge vers 0 alors R = +∞ – c'est-à-dire que la série converge sur le plan complexe tout entier.

Démonstration

D'après la règle de Cauchy, la série converge absolument dès que

$1>\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}z^{n}|}}=|z|\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

et diverge grossièrement dès que

$1<|z|\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$.

(Cette démonstration vaut même dans les deux cas extrêmes mentionnés ci-dessus, avec les conventions usuelles sur les produits ou quotients par 0 ou par +∞.)

Cas de plusieurs variables complexes

Si α est un multi-indice, c'est-à-dire un n-uplet d'entiers naturels, notons |α| = α₁ + … + α_n. Alors, pour la série entière multidimensionnelle

$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }z^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}z_{1}^{\alpha _{1}}\ldots z_{n}^{\alpha _{n}}$,

D(0, ρ) (où ρ est un n-uplet de rayons) est un polydisquepolydisque maximal de convergence si et seulement si :

$\lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy–Hadamard theorem » (voir la liste des auteurs).