Équivalent

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec $f:x\mapsto x^{2}+3x$, alors quand x tend vers l'infini, le terme 3x devient insignifiant devant le terme x² ; on écrit alors $f(x){\underset {\overset {x\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}$ x², et on dit que f est équivalente à x² en $+\infty$.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.

L'équivalence pour les suites

Définitions

Soient $u_{n}$ et $v_{n}$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que $u_{n}$ est équivalente à $v_{n}$, et on note $u_{n}\sim v_{n}$ , si la suite $u_{n}-v_{n}$ est négligeable devant la suite $v_{n}$.

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit : $u_{n}=v_{n}+o(v_{n})$, et se traduit par l'existence d'une suite $\varepsilon _{n}$ qui tend vers zéro et vérifie $u_{n}=(1+\varepsilon _{n})v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels, est pourtant indispensable pour que la relation $\sim$ ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux.

Exemples

• Un équivalent de la somme partielle $H_{n}$ d'ordre $n$ de la série harmonique est $\ln n$ :

$\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}\sim \ln n$

• Un équivalent de la factorielle est donné par la formule de Stirling : $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over {\mathrm {e} }}\right)^{n}$

• Soit $\pi _{n}$ la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. Le théorème des nombres premiers établit que :

$\pi _{n}\sim {\frac {n}{\ln n}}$

• En notant $P_{n}$ le nombre de façon de décomposer $n$ en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors il vient :

$P_{n}\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$

• Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang. Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation $u_{n}\sim 0$. Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang, au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même.

Propriétés

• Dans le cas où la suite $v_{n}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :

  $u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1.$

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

• Si deux suites sont équivalentes, alors elles ont la même limite. La réciproque est fausse.
• Si une suite est équivalente à une constante $\ell$ (rigoureusement la suite constante $(\ell )_{n\in \mathbb {N} }$), la suite à pour limite cette constante $\ell$.
• La relation $\sim$ est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes.
• Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

L'équivalence pour les fonctions

Définition

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel, +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note $f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;g$ (ou simplement $f\sim g$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage V de a telle que :

• $\lim _{a}\varepsilon =0$
• $\forall x\in (V\cap A)\setminus \{a\},~f(x)=(1+\varepsilon (x))g(x).$

Exemples

• Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.
• $\sin x{\underset {\overset {x\to 0}{}}{\sim }}\tan x{\underset {\overset {x\to 0}{}}{\sim }}x$.

Propriétés

• Si g est non nulle au voisinage de a, on a :
  $f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;g\Leftrightarrow \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

• En particulier, si $\ell$ est une constante non nulle :
  $f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;\ell \Leftrightarrow \lim _{a}f=\ell .$
• Dans les rares situations où $f\;{\underset {\overset {a}{}}{\sim }}\;0$, alors f est nulle sur un voisinage de a.
• La relation $\sim$ est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes.
• Si f et g sont équivalentes en a, alors :
  • elles sont de même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a ;
  • elles tendent vers la même limite.
• En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation $\sim$ . Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

Remarques

• On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
  • définies sur une partie A d'un espace topologique autre que ℝ ;
  • à valeurs dans un espace vectoriel normé sur K, ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué K autre que ℝ ou ℂ.
• La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.

Voir aussi

Comparaison asymptotique