Déviation vers l'est

La déviation vers l'est est un phénomène physique correspondant au fait qu'un corps en chute libre ne suit pas exactement la direction de la pesanteur, mais est légèrement dévié vers l'est par la force de Coriolis résultant de la rotation de la Terre. À partir de la fin de XVIII^e siècle, ce phénomène donna lieu à plusieurs expériences pour être mis en évidence, en particulier celles de Ferdinand Reich en 1831. Reich fit tomber des projectiles dans un puits de 158 m de profondeur à Freiberg (Saxe). Il observa une déviation de 28 mm vers l'est.

Cette rotation vers l'est est liée au sens de rotation de la Terre. Sur un astre tournant dans le sens inverse, la déviation serait vers l'ouest.

Histoire

La tour Asinelli de Bologne, à droite, où eurent lieu les expériences de Guglielmini.

La déviation vers l'est est prévue — semble-t-il pour la première fois — par Newton dans une lettre adressée à Hooke le 28 novembre 1679 (8 décembre 1679 dans le calendrier grégorien). Pour faire simple, prenons le cas équatorial. Il remarque que le point A avait une vitesse Ω·(R + h), où Ω est la vitesse de rotation de la Terre, R son rayon, h la hauteur au-dessus du sol. Cette vitesse est plus grande que la vitesse du point O situé sur le sol à la verticale descendante de A. Cette différence de vitesse correspond à une petite vitesse vers l'est de Ω·h, donc la déviation est vers l'Est. Elle est donnée par 2/3 Ω·h·T₀, où T₀ est le temps de chute, le coefficient 2/3 ne pouvant être déterminé par cette explication rudimentaire.

C'est avec difficulté qu'elle est mise en évidence par des expériences : en 1790-1791 par l'abbé Guglielmini (1760-1817) ; en 1794-1795 par Tadini (1754-1830) ; puis en 1802-1804 par Benzenberg (1777-1846). En 1803, Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855) obtiennent, indépendamment l'un de l'autre, l'expression mathématique de la déviation vers l'est. Les expériences de Reich en 1831 sont considérées comme la preuve de la déviation, bien que l'incertitude des mesures soient largement supérieure à la déviation elle-même. Elles sont confirmées au début du XX^e siècle par Hall (1855-1938) en 1902 et par Flammarion (1842-1925) en 1903. L'existence de la déviation est vérifiée en 1912 par Hagen et l'année suivante par Gianfrancheschi (de), tous deux à l'aide d'une machine d'Atwood.

Importance

L'existence de ce phénomène prouve, au même titre que l'expérience du pendule de Foucault, que la Terre tourne sur elle-même dans un référentiel galiléen, sans avoir recours à la moindre observation astronomique. La vérification de la cohérence des résultats observés avec les prévisions théoriques données par la mécanique newtonienne a été un défi expérimental.

Formule de déviation vers l'est

Expression

La formule de déviation vers l'est est une forme simplifiée de la représentation vectorielle décrite dans les paragraphes qui suivent. Elle permet de calculer la déviation vers l'est d'un corps en chute libre dans un référentiel terrestre. Cette déviation s'explique par la présence de la force de Coriolis qui apparaît dans les équations du mouvement, car la Terre en rotation sur elle-même n'est pas un repère galiléen.

La longueur de cette déviation est donnée par la formule approchée :

$d={\frac {2\Omega }{3}}{\sqrt {\frac {2h^{3}}{g}}}\cos \varphi$,

où :

• $\Omega$ est la vitesse angulaire de rotation de la Terre, exprimée en radians par seconde ;
• $g$ est l'accélération de la pesanteur, exprimée en mètres par seconde² (9,806 65 m/s²) ;
• $h$ est la hauteur de la chute, exprimée en mètres ;
• $\varphi$ est la latitude du point auquel a lieu la chute, exprimée en radians.

La déviation vers l'est est maximale à l'équateur et est nulle au pôle Nord comme au pôle Sud.

Équation rigoureuse

La force de Coriolis a pour expression :

${\vec {F}}_{C}=-2m\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {v}}$,

où :

• ${\vec {F}}_{C}$ est la force d'inertie de Coriolis ;
• $m$ est la masse du corps en chute ;
• ${\vec {\Omega }}$ est le vecteur vitesse angulaire instantanée de rotation de la Terre ;
• ${\vec {v}}$ la vitesse instantanée du corps dans le référentiel terrestre.

Le vecteur ${\vec {\Omega }}$ étant parallèle (colinéaire) à l'axe de rotation de la Terre, dirigé vers le nord, et ${\vec {v}}$ orienté vers le centre de la Terre, le produit vectoriel résultant est orienté vers l'est (une fois inversé). Cette force dépend de la latitude de l'objet, de sa masse et de sa vitesse de chute.

La vitesse du corps en chute libre est ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}$, où A est le point d'origine, référentiel tournant lié à la surface de la Terre.

Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire l'accélération comme somme de la force d'attraction de la Terre et de la force de Coriolis :

${\frac {d^{2}{\vec {AM}}}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}(m{\vec {g}}+{\vec {F_{C}}})={\vec {g}}-2{\vec {\Omega }}\wedge {\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}$,

où ${\vec {g}}$ est le vecteur accélération de la pesanteur dirigé selon la verticale descendante.

Résolution

On intègre une fois pour trouver la vitesse :

${\frac {d{\vec {AM}}}{dt}}=t\cdot {\vec {g}}-2{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {AM}}$,

On suppose pour cela que l'accélération de la pesanteur g est constante. Le modèle utilisé suppose une hauteur de chute pas trop grande et donc une durée de chute également pas trop grande. La constante d'intégration est nulle car la vitesse initiale est nulle.

On obtient ainsi un système différentiel linéaire, qui est donc mathématiquement soluble de façon exacte, la solution étant :

${\vec {AM}}={\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{2}}}\cdot {\vec {g}}+\left({\frac {\sin(2\Omega t)}{4\Omega ^{3}}}-{\frac {t}{2\Omega ^{2}}}\right)\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}+\left({\frac {t^{2}}{2\Omega ^{2}}}-{\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{4}}}\right)\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle \cdot {\vec {\Omega }}$

Démonstration

Décomposons ${\vec {AM}}$ dans la base (non orthonormée) $({\vec {g}},{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}},{\vec {\Omega }}$) et notons (a, b, c) les composantes. Compte tenu du fait que ${\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}})=\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle {\vec {\Omega }}-\Omega ^{2}{\vec {g}}$, le système à résoudre s'écrit :

${\begin{cases}a'&=t+2b\Omega ^{2}\\b'&=-2a\\c'&=-2\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle b\end{cases}}$

On en déduit que $a''=1+2b'\Omega ^{2}=1-4a\Omega ^{2}$. La solution générale de cette équation différentielle du second ordre est $a={\frac {1}{4\Omega ^{2}}}+\lambda \cos(2\Omega t)+\mu \sin(2\Omega t)$. On en déduit que :

$b={\frac {a'-t}{2\Omega ^{2}}}={\frac {-t}{2\Omega ^{2}}}-\lambda {\frac {\sin(2\Omega t)}{\Omega }}+\mu {\frac {\cos(2\Omega t)}{\Omega }}$

Sachant que $a(0)=b(0)=0$, on a $\lambda =-{\frac {1}{4\Omega ^{2}}},\mu =0$ et donc :

$a={\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{2}}}$

$b={\frac {-t}{2\Omega ^{2}}}+{\frac {\sin(2\Omega t)}{4\Omega ^{3}}}$

Enfin, $c'=-2\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle b=({\frac {t}{\Omega ^{2}}}-{\frac {\sin(2\Omega t)}{2\Omega ^{3}}})\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle$ et $c(0)=0$ donnent :

$c=({\frac {t^{2}}{2\Omega ^{2}}}-{\frac {1-\cos(2\Omega t)}{4\Omega ^{4}}})\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle$

La solution n'étant valide que pour des valeurs de t petites, on peut calculer des développements limités de chaque terme. Le premier terme est équivalent à ${\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}$ pour les petites valeurs de t, ce qui correspond au mouvement de la chute libre sans force de Coriolis. Le second est équivalent à $-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}$ qui donne la déviation vers l'est observée. Le dernier terme est équivalent à ${\frac {t^{4}}{6}}\langle {\vec {\Omega }}|{\vec {g}}\rangle \cdot {\vec {\Omega }}$ dont la projection sur le méridien donne une déviation supplémentaire vers l'équateur.

Cependant, on préfère généralement déterminer ces termes supplémentaires en exprimant une solution approchée à l'aide de la méthode perturbative : dans un premier temps, on résout l'équation sans la force de Coriolis, puis on rajoute une force de Coriolis dérivant de la solution précédente afin d'obtenir une première correction donnant la déviation vers l'est, puis on réinjecte cette solution corrigée pour obtenir une deuxième correction donnant une déviation vers l'équateur. Pour cela, on introduit la déviation par rapport à la chute libre sans force de Coriolis.

${\vec {AM}}={\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}+{\vec {D}}(t)$

L'intégration de l'équation trouvée précédemment donne l'expression de la déviation : ${\vec {D}}(t)=-2{\vec {\Omega }}\wedge \int _{0}^{t}{\vec {AM}}dt$ (qui s'annule en l'origine A).

Approximation du premier ordre

La déviation vers l'est étant petite devant la déviation due à la pesanteur, on prend comme approximation :

${\vec {AM}}(t)\approx {\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}$,

d'où le résultat :

${\vec {D}}(t)\approx -2{\vec {\Omega }}\wedge \int _{0}^{t}\left({\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}\right)dt=-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}$

qui est valide si D est petit devant la hauteur de chute h, c’est-à-dire pour T₀ (temps de chute) petit devant T = 86 164 s (période sidérale) :

$D(T_{0})\approx -{\frac {T_{0}^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}={\frac {T_{0}^{2}}{3}}\cdot T_{0}\cdot (-{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}})$

soit, en valeur absolue :

$D\approx {\frac {2}{3}}\Omega \,T_{0}\,h\cos(L)$

Approximation du second ordre

Si l'on prend maintenant :${\vec {AM}}={\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\vec {g}}-{\frac {t^{3}}{3}}\cdot {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {g}}$ pour calculer la déviation ${\vec {D}}(t)$, il apparaît un autre terme, encore plus faible, qui donne une déviation vers le sud dans l'hémisphère nord, et vers le nord dans l'hémisphère sud : il vaut en valeur absolue ${\frac {1}{6}}g\Omega ^{2}t^{4}\sin(L)\cos(L)\simeq {\frac {2h^{2}\Omega ^{2}}{3g}}\sin(L)\cos(L)$.

Compléments

• Une grande question que se posaient les théoriciens : en réduisant la Terre à un point massique central, quelle serait la déviation sur une chute de R = 6 400 km ? En utilisant l'ellipse de Kepler^[Quoi ?], on trouve : D = paramètre de l'ellipse^[Quoi ?] = R·(1/17)² = R/289 soit environ 22 kilomètres.
• On peut remarquer la parenté de l'équation de la force de Coriolis avec celle de l'effet Hall en électricité.

Expériences

• En 1679, Jean-Dominique Cassini (1625-1712), avec un puits situé dans le bâtiment Perrault de l'Observatoire de Paris.
• En 1831, Ferdinand Reich (1799-1882), dans un puits de mine de Freiberg en Saxe.

Voir aussi

Bibliographie

• Boyd, J.N. & Raychowdhury, P.N. Coriolis acceleration without vectors, Am. J. Phys., 1981, Vol. 49(5), pp. 498-499
• [Gilbert 1882] Philippe Gilbert, « Les preuves mécaniques de la rotation de la Terre », Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par M. Darboux. Paris, 2^e série, t. 6, n^o 1,‎ 1882, p. 189-205 (lire en ligne)
• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]
• Mohazzabi, P. Free fall and angular momentum, Am. J. Phys., 1999, Vol. 67(11), pp. 1017-1020
• Potgieter, J.M. An exact solution for the horizontal deflection of a falling object, Am. J. Phys., 1983, Vol. 51(3), pp. 257-258
• Stirling, D.R. The eastward deflection of a falling object, Am. J. Phys., 1983, Vol. 51(3), pp. 236
• Wild, J.F. Simple Non-Coriolis Treatments for Explaining Terrestrial East-West Deflections, Am. J. Phys., 1973, Vol. 41(9), pp. 1057-1059

Publications originales

• [Guglielmini 1792] (la) Giambattista Guglielmini, De diurno terrae motu experimentis physico-mathematicis confirmato opusculum, Bologne, 1792, 1 vol., 90-[1], ill., in-8^o (OCLC 34242700, BNF 30553969, SUDOC 042857767).
• [Laplace 1803] Pierre-Simon de Laplace, « Mémoire sur le mouvement d'un corps qui tombe d'une grande hauteur », Bulletin des sciences, Société philomathique de Paris,‎ 1803, p. 109-111 (résumé, lire en ligne).
• [Gauss 1803] (de) Carl Friedrich Gauss, Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der rotierenden Erde, 1803.
• [Reich 1832] (de) Ferdinand Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde : angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg, Freiberg, J. G. Engelhardt, 1832, 1 vol., 48, ill., in-4^o (OCLC 230667815, BNF 31190231, SUDOC 025380923, lire en ligne).
• [Flammarion 1903] Camille Flammarion, « Expériences sur la déviation de la chute des corps faites au Panthéon », Bulletin de la société astronomique de France, vol. 17, n^o 7,‎ juillet 1903, p. 329-335 (lire en ligne).
• [Hagen 1912] Johann G. Hagen, « La rotation de la Terre, ses preuves mécaniques anciennes et nouvelles », Pubblicazioni della Specola astronomica Vaticana, 2^e série, vol. 1, n^o 1,‎ 1912 (OCLC 9521527, SUDOC 025187007).
• [Gianfranceschi 1913] (it) Giuseppe Gianfranceschi, « Misure di deviazione dei gravi », Atti della Reale Accademia dei Lincei, 5^e série, vol. 22, n^o 2,‎ 1913, p. 561-568 (lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.déviation vers l'est, p. 205, col. 1-2. 

Manuels de cours

• [Gibaud et Henry 2019] Alain Gibaud et Michel Henry, Mécanique du point (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup / Physique », avril 2019, 2^e éd. (1^re éd. juin 1999), 1 vol., VII-328, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-079853-7, EAN 9782100798537, OCLC 1101586621, SUDOC 11749836X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Daniel et Peter 2019] Jean-Yves Daniel et Patrick Peter, Cosmologie : la science de l'Univers (cours et exercices corrigés), Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / Sciences de la Terre et de l'Univers », octobre 2019, 1^re éd., 1 vol., IV-284-[8], ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-2124-3, EAN 9782807321243, OCLC 1127536715, SUDOC 240590430, présentation en ligne, lire en ligne).

Autres

• [Deiber, Meier et Dettwiller 2002] André Deiber, Dominique Meier et Luc Dettwiller, « Déviation vers l'Est sans forces de Coriolis, mais avec une calculette », Bulletin de l'union des physiciens, vol. 96, n^o 842,‎ mars 2002, p. 523-542 (résumé, lire en ligne).
• [French 1984] (en) Anthony P. French, « The deflection of falling objects », American Journal of Physics, vol. 52, n^o 3,‎ mars 1984, p. 199 (DOI 10.1119/1.13686, Bibcode 1984AmJPh..52..199F, lire en ligne). 
• [Gapaillard 1992] Jacques Gapaillard, « Galilée et le principe du chasseur », Revue d'histoire des sciences, t. XLV, n^os 2-3 : « Études sur Galilée »,‎ 1992, p. 281-306 (DOI 10.3406/rhs.1992.4631, JSTOR 23632998, lire en ligne).
• [Gerkema et Gostiaux 2009] Theo Gerkema et Louis Gostiaux, « Petite histoire de la force de Coriolis », Reflets de la physique, n^o 17,‎ décembre 2009, p. 18-21 (DOI 10.1051/refdp/2009026, résumé, lire en ligne).  — art. réimpr. dans La Métrologie, 8^e série, n^o 69, mai 2010, p. 25-29 (lire en ligne).
• [Giannini 2015] (en) Giulia Giannini, « Gianantonio Tadini and falling bodies : a new documentary source for the reconstruction of the history of experimental proofs on the Earth's rotation », History of Science, vol. 53, n^o 3,‎ septembre 2015, p. 320-337 (DOI 10.1177/0073275315580960, résumé). 
• [Larcher 2010] Christian Larcher, « Une question historique : Où tombe une pierre lâchée du haut d'une tour ? Au pied de la tour ? Vers l'ouest ? Vers l'est ? », Les Cahiers Clairaut, n^o 130,‎ 2010, p. 31-33 (lire en ligne). 
• [Sivardière 2003] Jean Sivardière, « Les preuves expérimentales des mouvements de la Terre », Bulletin de l'union des physiciens, vol. 97, n^o 850,‎ janvier 2003, p. 25-39 (résumé, lire en ligne). 
• Richard Taillet, « Chute libre, histoire d'une déviation », Pour la Science, n^o 505,‎ novembre 2019, p. 74-79

Articles connexes

• Boulet de Mersenne
• Référentiel non inertiel
• Force de Coriolis

Liens externes

• [Chamaraux et Clusel 2002] François Chamaraux et Maxime Clusel, « La mystérieuse « force de Coriolis » », Planète-Terre, ENS Lyon,‎ 1^er mai 2002, s.v.déviation vers l'est (lire en ligne).
• [Persson 2015] Anders Persson (trad. de l'anglais par Alexandre Moatti), « La preuve de la rotation de la Terre par la mesure de la déviation d'objets tombant dans un puits de mine : une compétition mathématique franco-allemande entre Pierre-Simon de Laplace et Friedrich Gauß (1803) » [« Proving that the Earth rotates by measuring the deflection of objects dropped in a deep mine : the French-German mathematical contest between Pierre Simon de Laplace and Friedrich Gauß (1803) »], Bibnum, CERIMES,‎ 1^er mars 2015, p. 22 p. (résumé, lire en ligne).