La fonction xi de Riemann
ξ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)}
plan complexe La couleur d'un point
s
{\displaystyle s}
ξ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)}
argument de la valeur. En mathématiques , la fonction xi de Riemann est une variante de la fonction zêta de Riemann et est définie de manière à avoir une équation fonctionnelle particulièrement simple. La fonction est nommée en l'honneur de Bernhard Riemann .
Ce qu’on appelle aujourd’hui la fonction
ξ
{\displaystyle \xi }
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
ξ
(
s
)
:=
1
2
s
(
s
−
1
)
π
−
s
/
2
Γ
(
1
2
s
)
ζ
(
s
)
,
{\displaystyle \xi (s):={\frac {1}{2}}s(s-1)\,\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s),}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
fonction zêta de Riemann et
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
fonction Gamma . Cette notation est due à Edmund Landau . La fonction que Riemann notait
ξ
{\displaystyle \xi }
Ξ
{\displaystyle \Xi }
[ 1]
Ξ
(
z
)
=
ξ
(
1
2
+
z
i
)
.
{\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right).}
L'équation fonctionnelle de
ξ
{\displaystyle ~\xi ~}
ξ
(
1
−
s
)
=
ξ
(
s
)
,
{\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s),}
provenant de l'équation fonctionnelle de
ζ
{\displaystyle \zeta }
Ξ
{\displaystyle ~\Xi ~}
Ξ
(
−
z
)
=
Ξ
(
z
)
.
{\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}
ξ
{\displaystyle ~\xi ~}
ζ
{\displaystyle ~\zeta ~}
ξ
{\displaystyle \xi }
ξ
(
0
)
=
ξ
(
1
)
=
1
/
2
{\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=1/2}
tous ses zéros sont dans la bande critique
0
<
R
e
(
s
)
<
1
{\textstyle 0<{\mathcal {R}}e(s)<1}
ξ
{\displaystyle ~\xi ~}
ζ
{\displaystyle \zeta }
[ 2]
Valeurs
La forme générale des valeurs aux entiers pairs positifs est donnée par
ξ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
n
!
(
2
n
)
!
B
2
n
2
2
n
−
1
π
n
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}
où
B
n
{\displaystyle B_{n}}
n -ième nombre de Bernoulli . Par exemple, on a
ξ
(
2
)
=
π
/
6
{\textstyle \xi (2)={\pi }/{6}}
La fonction possède le développement en série
d
d
z
ln
ξ
(
−
z
1
−
z
)
=
∑
n
=
0
∞
λ
n
+
1
z
n
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}
où
λ
n
=
1
(
n
−
1
)
!
d
n
d
s
n
[
s
n
−
1
log
ξ
(
s
)
]
|
s
=
1
=
∑
ϱ
[
1
−
(
1
−
1
ϱ
)
n
]
,
{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\varrho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\varrho }}\right)^{n}\right],}
où la somme s'étend sur
ϱ
{\displaystyle \varrho }
Cette expansion joue un rôle particulièrement important dans le critère de Li , qui stipule que l'hypothèse de Riemann équivaut à avoir
λ
n
>
0
{\textstyle \lambda _{n}>0}
n positif.
En notant
ϱ
=
β
+
i
γ
{\textstyle \varrho =\beta +i\,\gamma }
ξ
{\displaystyle \xi }
N
(
T
)
:=
∑
ϱ
:
0
⩽
γ
⩽
T
1.
{\displaystyle N(T):=\sum _{\varrho \,:\,0\leqslant \gamma \leqslant T}1.}
La formule de Riemann-von Mangoldt établit alors une formule asymptotique pour cette fonction lorsque
T
→
+
∞
{\displaystyle T\rightarrow +\infty }
N
(
T
)
=
T
2
π
ln
T
2
π
−
T
2
π
+
O
(
ln
T
)
.
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).}
En particulier, cela implique que
ζ
{\displaystyle \zeta }
[ 2]
Produit de Hadamard
Le développement de Hadamard relatif aux zéros de
ξ
{\displaystyle \xi }
[ 2]
ξ
(
s
)
=
e
a
s
∏
ϱ
(
1
−
s
ϱ
)
e
s
/
ϱ
{\displaystyle \xi (s)=\mathrm {e} ^{as}\,\prod _{\varrho }\left(1-{\frac {s}{\varrho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\varrho }}
où
a
=
1
2
ln
(
4
π
)
−
1
2
γ
−
1
≈
−
0
,
02310
{\textstyle a={\tfrac {1}{2}}\ln(4\pi )-{\tfrac {1}{2}}\gamma -1\approx -0,02310}
γ
{\displaystyle \gamma }
constante d'Euler-Mascheroni ). On en déduit alors le développement pour
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
(
s
)
=
e
b
s
2
(
s
−
1
)
Γ
(
s
2
+
1
)
−
1
∏
ϱ
(
1
−
s
ϱ
)
e
s
/
ϱ
(
s
≠
1
)
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{bs}}{2(s-1)}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)^{-1}\,\prod _{\varrho }\left(1-{\frac {s}{\varrho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\varrho }\qquad (s\neq 1)}
où
b
=
ln
(
2
π
)
−
1
2
γ
−
1
≈
0
,
54927
{\textstyle b=\ln(2\pi )-{\tfrac {1}{2}}\gamma -1\approx 0,54927}
γ
{\displaystyle \gamma }
↑ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen ; Teubner, Berlin 1909; Third ed., Chelsea, New York, 1974. §70-71 et page 894.
↑ a b et c Gérald Tenenbaum Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Belin, dl 2015 (ISBN 978-2-7011-9656-5 2-7011-9656-6 OCLC 933777932 lire en ligne ) , pp. 241-245
Voir aussi
![{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\varrho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\varrho }}\right)^{n}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c40182843b455fd7e96ec65a434db524c7586a)
