Formule de Riemann-von Mangoldt

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En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann.

La formule indique que le nombre de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à et inférieure ou égale à satisfait

Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895.

Backlund[1] donne une forme explicite de l'erreur pour tout supérieur à  :

Conséquences de la formule[modifier | modifier le code]

  • La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
  • Si désigne la suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction de Riemann dans le demi-plan supérieur, alors pour [2]. Littlewood[3] (1924) a montré que

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) R. J. Backlund, « Über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion », Acta Mathematica, vol. 41, no 0,‎ , p. 345–375 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02422950, lire en ligne, consulté le )
  2. Tenenbaum, Gérald, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres (quatrième édition mise à jour), Belin, dl 2015 (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne), pp. 241-251
  3. J. E. Littlewood, « On the zeros of the Riemann zeta-function », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, no 3,‎ , p. 295–318 (ISSN 0305-0041 et 1469-8064, DOI 10.1017/s0305004100014225, lire en ligne, consulté le )