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Une mesure de Dirac (ou masse de Dirac ) est une mesure supportée par un singleton et de masse unitaire.
Soient un espace mesurable
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}
et
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
. On appelle mesure de Dirac au point
a
{\displaystyle a}
, et l'on note
δ
a
{\displaystyle \delta _{a}}
, la mesure sur
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}
définie par :
∀
A
∈
A
,
δ
a
(
A
)
=
1
A
(
a
)
=
{
1
si
a
∈
A
0
si
a
∉
A
{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\ \delta _{a}(A)=1_{A}(a)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}a\in A\\0&{\mbox{si }}a\notin A\end{cases}}}
où
1
A
{\displaystyle 1_{A}}
désigne la fonction indicatrice de
A
{\displaystyle A}
.
Le support de
δ
a
{\displaystyle \delta _{a}}
est réduit au singleton
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
.
δ
a
(
X
)
=
1
{\displaystyle \delta _{a}(X)=1}
donc cette mesure est une probabilité sur
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}
.