Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence à partir d'un nombre réel fixé.

Construction du produit

Soit x₀ un nombre réel strictement plus grand que 1. On définit les nombres suivants, où [x] représente la partie entière de x :

$a_{0}=\left[{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right]$, $x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}$.

De $a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}$ on déduit aisément que x₁ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

$a_{n}=\left[{\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right]$, $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}$.

Propriétés

1. $\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n\geq N,a_{n}\geq 2$
2. $\forall n,a_{n+1}\geq a_{n}^{2}$ (avec égalité à partir d'un certain rang si et seulement si x₀ est un nombre rationnel).
3. Des propriétés 1 et 2, on déduit le théorème principal :$x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}.$
4. De plus, la suite d'entiers (a_n) vérifiant les propriétés 2 et 3 est unique.

Exemples

${\sqrt {3}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}$, avec $a_{0}=2$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$,

${\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}$, avec $a_{0}=3$ et $a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$.

D'après les propriétés précédentes, on voit donc que √2 et √3 sont des nombres irrationnels (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer).

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

Articles connexes

• Fraction continue
• Développement en série de Engel