Base d'Auerbach
Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.
Définition
[modifier | modifier le code]Soit un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur et toute partie de , la distance de à (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de ) est :
La notation désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par .
Une partie de est appelée base d'Auerbach de si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
- , c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par est dense dans ;
- pour tout vecteur de , on a
, c'est-à-dire que la norme de est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de ;- le vecteur nul n'appartient pas à .
Une base d'Auerbach est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de ont pour norme 1.
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Toute base d'Auerbach est :
- topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout de , le vecteur n'appartient pas à , et a fortiori algébriquement libre ;
- topologiquement génératrice, ou « totale »[1] (c'est ce qu'exprime la condition ), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.
(Si est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)
- Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.
Motivation
[modifier | modifier le code]Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur et toute partie on a :
(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.
La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932[2].
Définition équivalente
[modifier | modifier le code]Dans un espace de Banach , une partie est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :
- ;
- pour tout vecteur de , on a la condition de normalisation ;
- pour tout vecteur de , il existe une forme linéaire continue sur (donc un élément du dual topologique de ) de norme 1, nulle sur et telle que .
En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Banach et tout vecteur n'appartenant pas à , il existe sur une forme linéaire de norme 1, nulle sur , et telle que .
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Auerbachbasis » (voir la liste des auteurs).
- (en) Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, no 2, 2005, p. 147-171
- (de) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, , 5e éd., 527 p. (ISBN 3-540-21381-3)
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I.
- Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932.