Dualité d'Alexander

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, la dualité d'Alexander est un résultat reliant l'homologie d'un sous-espace d'une sphère avec la cohomologie de son complémentaire dans cette sphère. Ce résultat est généralisé par la dualité de Spanier-Whitehead (en).

Ce résultat, d'abord présagé par un résultat de J. W. Alexander en 1915, a été développé notamment par Pavel Alexandrov et Lev Pontryagin.

Théorème

Soit X un sous-espace compact, localement contractile de la sphère de dimension n. Soit Y le complément de X dans cette sphère. Alors on a un isomorphisme :

H_q(X) ≃ H^{n − q − 1}(Y),

où H est l'homologie ou la cohomologie réduite (en), à coefficient dans un groupe abélien.

Références

• (en) « Alexander duality », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Ezra Miller et Bernd Sturmfels, Combinatorial Commutative Algebra, 2005, 417 p., p. 81-86

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alexander duality » (voir la liste des auteurs).