Anneau factoriel

En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et intègre. A l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Un élément irréductible est un élément qui, dans une décomposition en produit de deux facteurs, contient toujours un élément inversible. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers, -2 est irréductible. La décomposition en facteurs irréductibles est unique dans un anneau factoriel, aux éléments inversibles près.

Les exemples d' anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal, c'est-à-dire tel que tout idéal est principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel est factoriel mais n'est pas principal si l'anneau n'est pas un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.

Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.

Définitions

Une première définition est nécessaire pour exprimer celle d'anneau factoriel :

• Un élément a non nul d'un anneau commutatif unitaire et intègre est dit irréductible si et seulement si il n'est pas inversible et si toute décomposition en deux facteurs b et c de a, a = b.c comporte un élément inversible (soit b soit c).

La définition la plus courante d'anneau factoriel est :

• Un anneau commutatif unitaire intègre est dit factoriel si et seulement si pour tout élément a non nul de l'anneau, il existe un élément inversible u est une suite finie p₁, …, p_n d'éléments irréductibles de l'anneau tel que :

$a=up_{1}\cdots p_{n}\;$

et si la decomposition est unique au sens suivant. Soit v un élément inversible et q₁ … q_m une deuxième décomposition de a :

$a=up_{1}\cdots p_{n}=vq_{1}\cdots q_{m}\;$

alors n est égal à m et il existe une permutation $\sigma$ de l'ensemble [1, n] et des éléments inversibles w_i tel que :

$\forall i\in [1,n]\quad p_{i}=w_{i}q_{\sigma (i)}\;$

Dans un anneau factoriel A, il est possible de définir une relation d'association entre éléments irréductibles. Deux éléments irréductible p et q de A sont associés s'il existe un élément inversible u tel que p = u.q. Cette relation est une relation d'équivalence. Certains anneaux possèdent des éléments irréductibles particuliers, ainsi un élément irréductible et positif de Z est appelé nombre premiers. Dans K[X] les éléments particuliers sont les polynômes irréductibles unitaires, c'est-à-dire dont le coefficient du monôme dominant est égal à un. Chaque classe d'équivalence contient un unique élément irréductible particulier. Cette approche permet de normaliser la décomposition en facteurs irréductibles de telle sorte que l'unicité ne soit plus définie aux éléments inversibles près.

Il est toujours possible d'établir une normalisation de cette nature. Il suffit de définir une famille (p_i) d'éléments irréductibles tel que si i est différent de j alors p_i n'est pas associé à p_j et si π est un élément irréductible il existe un indice i tel que π est associé à p_i. Le théorème de Zorn montre qu'il est toujours possible de trouver une famille maximal d'éléments irréductibles deux à deux non associés. Cette normalisation est utilisée dans la suite de l'article pour ne pas alourdir les énoncées. Elle n'est pas nécessaire, cependant les unicités s'expriment alors aux éléments inversibles près. Dans la suite de l'article A désigne un anneau factoriel et (p_i) une telle famille d'éléments irréductibles.

Un élément a d'un anneau factoriel s'écrit alors :

$a=u\prod _{i\in I}p_{i}^{v_{p}(a)}$

La fonction de A dans N, l'ensemble des entiers naturels, qui à a associe v_pi(a) s'appelle une valuation p-adique.

Exemples et contre-exemples

• L'anneau Z est évidemment le premier exemple d'anneau factoriel. Mais on trouve aussi l'anneau de Gauss Z[i] des complexes s'écrivant sous la forme a + ib où a et b sont des entiers relatifs.
• Si K est un corps alors l'ensemble K[X] des polynômes à coefficient dans K est un anneau factoriel, ainsi que K[X₁, X₂, ...,X_n]. Plus généralement, dès que A est factoriel, il en est de même de A[X].
• On démontre que tout anneau euclidien ou tout anneau principal est aussi factoriel
• Le contre-exemple le plus célèbre est l'anneau non-factoriel $\mathbb {Z} [i{\sqrt {3}}]$ dans lequel on trouve deux décompositions différentes de 4 : $4=2\times 2=(1+i{\sqrt {3}})(1-i{\sqrt {3}})$. Propriété qui donna l'occasion à Leonhard Euler de présenter une démonstration fausse du dernier théorème de Fermat pour n = 3 (Algebra 1770). Pour palier cette difficulté, la méthode la plus simple est d'utiliser les entiers d'Eisenstein. La configuration générale d'une situation de cette nature est étudiée dans l'article sur l'entier quadratique. Pour trouver une solution très générale à cette difficulté Ernst Kummer crée des nombres idéaux, maintenant formalisé par les travaux de Richard Dedekind à travers le concept d'anneau de Dedekind.
• Un contre-exemple "géométrique" est celui du quotient de K[X,Y,Z] par l'idéal engendré par $X^{2}-YZ$.

Soit p l'application de passage au quotient. $p(X^{2})$ admet deux décompositions distinctes en facteurs irréductibles : on a $p(X^{2})=p(X)p(X)$ mais aussi $p(X^{2})=p(Y)p(Z)$

Propriétés

• Un anneau commutatif unitaire et intègre est factoriel si et seulement si il vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang.

(2) Tout idéal engendré par un élément irréductible est premier.

• Dans un anneau factoriel, les nombres premiers sont confondus avec les nombres irréductibles.
• La propriété d'unicité de la décomposition est équivalente au lemme d'Euclide (si p est irréductible et si p divise a.b alors p divise a ou p divise b) et au théorème de Gauss (si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c)
• Dans un anneau factoriel, on peut définir un ppcm (plus petit commun multiple) de a et de b et un pgcd (plus grand commun diviseur) de a et de b en prenant pour la valuation p-adique du ppcm le sup des valuations p-adique de a et b et pour la valuation p-adique du pgcd l'inf des valuations p-adiques. Il est bon de rappeler que ppcm et pgcd ne sont définis qu'à un inversible près.
  • le pgcd et le ppcm confèrent à l'ensemble A/${\mathcal {R}}$ où ${\mathcal {R}}$ est la relation « être associé » une structure de treillis
  • ppcm(a,b).pgcd(a,b) = ab à un inversible près
  • Si (a) est l'idéal engendré par a et (b) celui engendré par b, on a (a) $\cap$ (b) = (ppcm(a,b))
  • En revanche, il faudra attendre d'être dans un anneau principal pour avoir (a) + (b) = (pgcd(a,b))
• Si A est un anneau factoriel, il en est de même de l'anneau A[X] des polynômes sur A.

Démonstration

• Si l'anneau vérifie les propriétés (1) et (2), il est factoriel :

En vue de montrer cette implication, une décomposition de la démonstration est utile. Soient A un anneau vérifiant les hypothèses de la première définition et a un élément de A non nul.

• Il existe un élément irréductible p qui divise a si a n'est pas inversible :

Si a est irréductible la proposition est démontrée, sinon on construit par récurrence une suite (a_n) par récurrence de la manière suivante, a₀ est égal à a, supposons la suite définie jusqu'à l'ordre n – 1, si a_{n - 1} est irréductible alors a_n est égal à a_{n - 1}, sinon a_n est un diviseur strict de a_{n - 1}. L'élément b de A est dit diviseur strict de a_{n - 1} si il n'est pas inversible et s'il existe un élément c de A non inversible tel que b.c soit égal à a_{n - 1}.

La suite des idéaux principaux (a_nA) est croissante, la première partie de la définition indique qu'elle est stationnaire à partir d'un certain rang, noté ici m. Le fait que la suite soit stationnaire montre que a_m est irréductible. Par construction, il divise a.

• Il existe un élément inversible u est une suite finie p₁, …, p^{n d'éléments irréductibles de l'anneau tel que :}

$a=up_{1}\cdots p_{n}\ ;$

Si a est irréductible ou inversible, la proposition est évidente. Sinon le résultat précédent montre l'existence d'un élément irréductible p₁ et d'un élément u₁ tel que a = p₁.u₁. Si u₁ est inversible alors la proposition est démontrée, sinon il existe un élément p₂ irréductible et un élément u₂ tel que a = p₁.p₂.u₁. En réitérant le raisonnement on trouve soit un élément u_n inversible et la proposition est démontrée soit une suite infinie (u_i). La suite des idéaux (u_iA) est alors strictement croissante, ce qui est impossible. Cette impossibilité démontre la proposition.

• La décomposition en facteurs irréductibles est unique :

On suppose l'existence de deux décompositions :

$a=up_{1}\cdots p_{n}=vq_{1}\cdots q_{m}\ ;$

Montrons la proposition par récurrence sur n. Si n est égal à zéro, alors a est inversible, m est aussi égal à zéro et la proposition est démontrée.

Supposons la proposition démontrée à l'ordre n – 1, et montrons la à l'ordre n. p^{n divise le produit vq₁ …qm, on en déduit que l'idéal premier pnA contient vq₁ …qm. Comme l'idéal est premier et que v est inversible, il existe un élément k tel que qk est élément de l'idéal et q k est un multiple de pn. Comme l'élément q k est irréductible, il existe un élément inversible w_n tel que p_n =w_n .q_k.}

L'égalité suivante et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \frac a{p_n) = u\prod_{i=1}^n p_i = v.w_n^{-1}\prod_{j=1\; j\neq k}^m q_j}

• Si l'anneau est factoriel, il vérifie les propriétés (1) et (2) :

Soit σ la fonction de A – {0} dans N l'ensemble des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie.

Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ(a.b) = σ(a) + σ(b). Ainsi si c divise strictement a, alors σ(a) est strictement plus grand que σ(c).

• Toute suite d'idéaux principaux croissante est stationnaire :

Soit (a_nA) une suite d'idéaux principaux croissante. Si la suite des (a_n) est constante égal à zéro, la suite est stationnaire. Sinon, qui à réindexer la suite, supposons que a₁ ne soit pas nul. Dire que l'idéal a_{n + 1}A contient strictement l'idéal a_nA signifie que a_{n + 1} divise strictement a_nA. On en déduit que la suite (a_nA) n'est strictement croissante qu'un nombre de fois inférieur ou égal à σ( a₁) ce qui montre que la suite est stationnaire au bout d'un certain rang.

• Soit p un élément irréductible de A, l'idéal pA est premier :

Soit a et b deux éléments de A tel que ab est élément de pA. Alors ab est un multiple de p, la décomposition en facteurs irréductibles de ab contient nécessairement p à un facteur inversible près. En conséquence soit la décomposition de a soit celle de b contient p, à un facteur inversible près. Ce qui montre que soit a soit b est élément de l'idéal pA. Cette propriété traduit le fait que l'idéal est premier et termine la démonstration.

 

Notes et références

Liens externes

• (fr) Anneaux factoriels anneaux euclidiens par les mathématiques.net
• (fr) Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
• (fr) Cours d'agrégation interne par C. Scarcini chap 2
• (fr) Anneaux factoriels par D. J. Mercier IUFM de la Guadeloupe
• (fr) Quelques anneaux particuliers Site Bibmath.net 2000 - 2007

Références

• (fr) Nicolas Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
• (fr) Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
• (fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]