Création le 20 janvier 2006
Espace de la géométrie Euclidienne. Espace vectoriel associé par le choix d'une origine.[modifier | modifier le code]
L'espace de la géométrie Euclidienne
est l'ensemble des "points " étudiés en géométrie.
Une définition rigoureuse de cet ensemble est lié à un certain nombre de postulats dont le plus connu est le postulat d'Euclide d'autres sont implicitement contenu dans certaines notions admise intuitivement (point, droite,...), d'un autre point de vue, on peut donner une définition axiomatique rigoureuse de cet espace à partir de la théorie des Espace vectoriel
On a été amené dans cette géométrie à définir des vecteurs libres et leur ensemble
est muni de deux lois.Somme vectorielle et multiplication par un réel, donnant à cet ensemble une structure d'espace vectoriel sur
ce qui justifie l'appellation de vecteur pour ces êtres mathématiques.Soit O un point quelconque fixe de l'espace. A tout point M de l'espace distinct de O ou non, on fait correspondre le vecteur libre noté
dont un représentant est un vecteur lié
Il est clair que l'on a établi ainsi une bijection entre les points de l'espace de la géométrie Euclidienne et l'ensemble
.
Cette bijection n'étant bien entendu définie qu'une fois choisi le point O.
Voir:
Géométrie euclidienne
Vecteur
Etude de
. Base de dimension indépendante dans
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Etude faite dans le chapitre sur les espaces vectoriels (à vérifier)
Rappels
1°.La dim de ![{\displaystyle E_{vl}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1f113a29a02d2b143e1b590d921028ad9f6b50)
2°.Trois vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils sont parallèles à une mème direction de plan. Représentants coplanaire de mème origine.
3°.Deux vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils ont mème direction. Représentant colinéaire de mème origine.
4°.Une base est constituée par tout système de trois vecteurs non nuls et non paralèlles à une mème direction de plan.
- Cas de la géométrie plane.
- 1°.Sous espace du précédent
- 2°.Dim = 2
- 3°.Une base est constituée par deux vecteurs non nuls et mon colinéaires.
voir:
Espace vectoriel
colinéarité
Changement de base pour
(ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)[modifier | modifier le code]
Relation entre cosinus directeur et paramètre directeur.[modifier | modifier le code]
Changement d'axes en système orthonormé; matrice des neuf cosinus.[modifier | modifier le code]
Choix d'un système de coordonnées en vue d'une étude analytique.[modifier | modifier le code]
Dans ce chapitre les systèmes de référence sont tous orthonormés directs
Moments et coordonnées d'un vecteur glissant.[modifier | modifier le code]
Un glissant est une classe d'équivalence de l'ensemble des liés de l'espace suivant la relation d'équivalence: équipolence et même support.
Un glissant est parfaitement défini par la donnée de son support et d'un vecteur équipolent.(à condition que celui-çi ait la direction du support); un glissant est d'ailleur entièrement défini par la donnée d'un vecteur équipolent et d'un point du support.
Voir:
Relation d'équivalence
Moment d'un glissant par rapport à un point O.[modifier | modifier le code]
Soit O un point fixe de l'espace et soit
un lié de support (D).
Considérons
(Produit vectoriel de deux vecteurs libres dont
et
sont des représentants.)
Soit M un point quelconque de la droite (D) et considérons
(1)
.
(2)
. car A, B, M alignés.
(1) et (2) donne:
(3)![{\displaystyle {\vec {P'}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {AB}}=({\vec {OA}}+{\vec {AM}})\wedge {\vec {AB}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}+{\vec {0}}={\vec {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565b58d891a0b7d5d7694eb90a00979488dcda6d)
Conclusion:
,
n'est pas modifié si l'on fait glisser
sur son support (D).
On peut donc considérer
comme attaché non au vecteur lié
mais au glissant
dont
est un représentant.
On pose alors:
est donc le produit vectoriel de deux vecteurs libres dont
et
sont des représentants.
On appelle ce vecteur "moment en O ou par rapport à O du glissant
".
1°.On peut aussi poser :
, car;
D'aprés la Relation de Chasles, nous pouvons écrire:
![{\displaystyle {\vec {P}}={\vec {OA}}\wedge ({\vec {OA}}+{\vec {AB}})={\vec {OA}}\wedge {\vec {OA}}+{\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a71b645ed5c44b6cafb5e5752c2b7a4d6e93a4)
Mais
Donc
2°.Réciproquement la donnée de
et d'un vecteur libre
avec
détermine entièrement ![{\displaystyle {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16)
En effet on doit avoir
à
si M est un point du support de
. Donc M est dans le plan
en O à
Le support de
est donc dans ce plan, condition compatible avec la donnée de
puisque ![{\displaystyle {\vec {a_{l}}}\perp {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fdaa832366f9497400175dd824c7f2efefb1ee)
On doit avoir
ce qui détermine
de façon unique si ![{\displaystyle {\vec {a}}\neq {\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7159c42ff1da9326f4d88c6dcaa0c06403ddd2bf)
D'ou deux supports possibles pour
, symétriques par rapport à O dans (P) le plan perpendiculaire en O de ![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5be2363cb17674d77ebaed58cc9c56413c62155)
Le sens du vecteur
permet de choisir parmi les deux, celui à retenir.
Si
, le problème est impossible si par hypothèse de départ du raisonnement :![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}\neq {\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e704a7c1260a5237e082238e0e1bfabccbe7411e)
Sinon:
;Indétermination.
La solution est n'importe quel vecteur glissant
Les deux vecteurs
et :
tel que :
(Produit scalaire) , sont appelés coordonnées vectorielles du glissant de
par rapport au point O.
On les représente usuellement avec origine en O , bien qu'ils soient libres pour marquer que le vecteur moment (tout au moins) est relatif au point O choisi.
(à suivre)
Le moment de
(vecteur glissant) , par rapport à O' est égal à la somme de son moment par rapport à O et du moment par rapport à O' d'un vecteur équipolent dont le support passerait par O.
- Soit:
. (mème ordre O'....O)
Démonstration:
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}={\vec {O'M}}\wedge {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d756cec9ff3dada234f68c0c7c9344d1f11bbe4)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}=({\vec {O'O}}+{\vec {OM}})\wedge {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01e823ebb4337da2b811484135a10851847936e)
.
.
Le moment en O de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moment en O de ces différents vecteurs.
Démonstration.
Soient plusieurs vecteurs
, le point M , point de concour de ces différents vecteurs, O un point de l'espace. Nous pouvons écrire:
On en déduit:
Moment d'un glissant par rapport à un axe orienté.[modifier | modifier le code]
Soit
un axe orienté et O un point fixe quelconque de
Soit :
Posons:
qui est grandeur réelle
Soit un point
et donc ::
Posont:
qui est une grandeur réelle
nous savons que
.
(produit vectoriel) est un vecteur
et
D'ou
(produit vectoriel) est un vecteur
au plan formé par ces deux vecteurs. Ce vecteur est donc
![{\displaystyle Proj_{/x'x}{\vec {O_{1}O}}\wedge {\vec {a}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b169ed8e60d194e7c6202b8bbc94f632d9e0013)
Il résulte que
et :
ont même projection sur
et par suite
.
Autrement dit
est indépendant du choix du point O sur
.
On pose alors
avec O point quelconque de ![{\displaystyle x'x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c8891858ac87637d06184ea35a8a967249518f)
Cette grandeur réelle est appelée moment du glissant
par rapport à l'axe
est un scalaire (réel) alors que
est un vecteur.
ou
ou
rencontre
Le théorème de Varignon s'établit ainsi:
Le moment par rapport à
de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moments par rapport à
de ces différents vecteurs.
Si
avec
et
D'après Varignon:
avec O point quelconque de ![{\displaystyle x'x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c8891858ac87637d06184ea35a8a967249518f)
...car
Conclusion:
Si :
et
alors
Le moment d'un vecteur par rapport à un axe est égal au moment de la projection de ce vecteur sur un plan
à l'axe
Déterminant
(à suivre)
Expression analytique; coordonnées scalaires d'un glissant.[modifier | modifier le code]
Soit
les composantes de
qui sont aussi les composantes de
introduit çi-dessus.
Soit
les coordonnées de M , un point du support de
Le repère est orthonormé direct et O l'origine des coordonnées.
Compte tenu de la relation suivante:
On remarque que
peuvent s'exprimer comme suit:
Les scalaires
sont appelés coordonnées scalaires du glissant
Ce sont les composates respectivement des vecteurs
et
qui constituent les coordonnées vectorielles du glissant par rapport à O.
Ces coordonnées sont liées par
Six réels
peuvent donc toujours être considérés comme les coordonnées d'un glissant à condition quil vérifie la condition:
.
Glissant nul :
2°.remarque: interprétation de la condition LX+MY+NZ=0[modifier | modifier le code]
Interprétation de la condition:
Considérons le système
ou
sont les inconnues.
Nous avons donc un système de trois équation avec trois inconnus que l'on peut résoudre par la méthode de Cramer
Déterminant =
Système de Cramer de rang <3
Alors si
non tous nuls, rang 2.(on peut tirer les déterminants d'ordre
).
Supposons par exemple ![{\displaystyle \ Z\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3176d83b127d43ac169ca6ba268f6dcdcaa49c4)
On forme la caractéristique ![{\displaystyle {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![{\displaystyle \ C={\begin{vmatrix}0&Z&L\\-Z&0&M\\Y&-X&N\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e6e8bc14b74b022be51a164356cf9770fd8052)
![{\displaystyle \ C=0\Leftrightarrow LXZ+MYZ+NZ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da44e5a2bcd3adc253ae3027860a68dc588dfa9d)
![{\displaystyle Z\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d18cd12551ebec03037141a58961470f6b2a893)
Division par
possible
qui n'est autre que la condition (..) , indétermination d'ordre
;sinon impossibilité. (à revoir)
3°.remarque: moment /O' autre que l'origine O.[modifier | modifier le code]
Cas ou l'on prend le moment par rapport à O', autre que l'origine O.
Soit
les coordonnées de
Soit
les coordonnées de
Soit
les composantes de
On peut écrire le pseudo-déterminant:
Qui permet de connaitre les composantes du vecteur moment
On peut aussi utiliser la formule donnant
en fonction de
, il suffit d'ajouter les composantes de deux vecteurs figurant au second membre de la relation çi-dessous.
Qui peut s'écrire:
Soit
les coordonnées de O ,origine.
devient,en remplaçant
par leur valeur
.
a donc pour composantes:
![{\displaystyle {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\begin{Bmatrix}L'\\M'\\N'\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d593809483ccbdc5742c09fdf15cf1166ad5a91)
![{\displaystyle ={\begin{Bmatrix}L\\M\\N\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511c8a5d1fc104f8472d9b586f1e878bd80121b6)
![{\displaystyle -{\begin{Bmatrix}y'Z-z'Y\\z'X-x'Z\\x'Y-y'X\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5424df57bf1436f6a9e6e8392f2bd2adcdbf4813)
Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.[modifier | modifier le code]
Ensemble formé par un certain nombre de glissants supposé ,dans un premier temps, en nombre fini, soit
.
Tel que :
et soit
un tel système.
"Résultante générale" du système
C'est un vecteur Libre défini par la relation vectorielle çi-dessous
C'est la somme des moments en
des différents vecteurs du système.
![{\displaystyle {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}\ (S)}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{1}}}}}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{2}}}}}+...+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{n}}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18b8dd4e9c1753ca01bd368e6eca48fffeff0a7)
S'il n'y apas d'ambiguité sur le système nous le noterons :|
|.
Par définition:
C'est un vecteur libre, toutefois on conviendra de le considérer comme un vecteur lié d'origine
, pour marquer qu'il est attaché au point
.
Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.[modifier | modifier le code]
Coordonnées vectorielles d'un système de glissant[modifier | modifier le code]
. Résultante du système de glissants
. Moment résultant
Coordonnées scalaires d'un système de glissant[modifier | modifier le code]
Au total, six composantes: trois composantes pour la résultante
et trois composantes pour le moment / à un point
.
sont appellés moments résultants du système de glissants / aux axes
respectivement: chacun est la somme des moments des différents vecteurs / à l'axe correspondant.
Si on constitue un système par la réunion de plusieurs autres, les moments et les résultantes générales s'ajoutent (résulte immédiatement de l'associativité de la somme vectorielle).
Moments résultants du système en deux points différents de l'espace[modifier | modifier le code]
. (mème ordre O'....O)
.
..........
.
.
Si pour un système
,ceci implique :
, quelque soient
et
.
On peut alors nommer
la valeur commune à tous les moments.
Si de plus
, le système est appelé un couple.
Le moment résultant peut dans ce cas être considéré comme libre puisqu'il ne dépend pas du point
Le système constitué par deux vecteurs de mème module strictement parallèles , opposés,en tant que vecteurs libres forment un couple
La réunion de plusieurs couples est un couple
Le moment est la somme des moments des différents couples (résultat immédiat d'après la définition).
Invariants d'un système de glissants. Axe central.[modifier | modifier le code]
supposons ![{\displaystyle {\vec {OO'}}//{\vec {R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801cfc0e522aa924fb35dd995309a25a39e754f8)
Alors
, par définition ,(
avec
.
Devient
.
Théorème
Le moment résultant est invariant le long de toute
à la résultante générale. (Invariant local).
Axe central.(cas ou
)[modifier | modifier le code]
Systèmes équivalents, réduction d'un système[modifier | modifier le code]
Système de vecteurs parallèles, centre des vecteurs parallèles.[modifier | modifier le code]