Théorème de Stewart

Illustration du théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane due au mathématicien Matthew Stewart en 1746.

Énoncé

Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la "relation de Stewart":

$a\cdot (xy+p^{2})=x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}$

Démonstration

D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :

$\cos({\widehat {BXA}})={\frac {x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}},\ \cos({\widehat {CXA)}}={\frac {y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}}$

Puisque ${\widehat {BXA}}$ et ${\widehat {CXA}}$ sont supplémentaires, alors la somme de leurs cosinus est nulle, d'où, successivement :

${\begin{aligned}{\frac {x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}}+{\frac {y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}}&=0\\2yp\cdot (x^{2}+p^{2}-c^{2})+2xp\cdot (y^{2}+p^{2}-b^{2})&=0\\2ypx^{2}+2yp^{3}+2xpy^{2}+2xp^{3}&=2ypc^{2}+2xpb^{2}\\x^{2}y+yp^{2}+xy^{2}+xp^{2}&=yc^{2}+xb^{2}\\a\cdot (xy+p^{2})&=yc^{2}+xb^{2}\end{aligned}}$

Autre formulation

Étant donnés une droite orientée comportant trois points $A,B,C$ et un point $M$, la relation de Stewart s'écrit:

${MA}^{2}.{\overline {BC}}+{MB}^{2}.{\overline {CA}}+{MC}^{2}.{\overline {AB}}+{\overline {AB}}.{\overline {BC}}.{\overline {CA}}=0$

Voir aussi

Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Stewart's Theorem », sur MathWorld