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Le théorème de Poynting , énoncé par John Henry Poynting , concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique . Il établit une relation entre énergie électromagnétique , effet Joule et le flux du vecteur de Poynting .
En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.
Variation de l'énergie électromagnétique
Le théorème énonce que pour tout volume :
−
∭
∂
W
e
m
∂
t
d
τ
=
∭
d
i
v
Π
→
⋅
d
τ
+
∭
ȷ
→
⋅
E
→
d
τ
{\displaystyle -\iiint {\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\,\mathrm {d} \tau =\iiint \mathrm {div} {\vec {\Pi }}\cdot {\,\mathrm {d} \tau }+\iiint {\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}{\,\mathrm {d} \tau }}
soit, sous forme locale, pour un volume
d
τ
{\displaystyle d\tau }
−
∂
∂
t
(
ε
0
E
2
2
+
B
2
2
μ
0
)
=
d
i
v
(
E
→
∧
B
→
μ
0
)
+
j
→
⋅
E
→
{\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=\mathrm {div} \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}
soit dans le cas général
−
∂
∂
t
(
E
→
⋅
D
→
2
+
B
→
⋅
H
→
2
)
=
d
i
v
(
E
→
∧
H
→
)
+
j
→
⋅
E
→
{\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {D}}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}}{2}}\right)=\mathrm {div} \left({\vec {E}}\wedge {\vec {H}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}
avec:
Π
→
{\displaystyle {\vec {\Pi }}}
, vecteur de Poynting
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
, champ électrique
D
→
{\displaystyle {\vec {D}}}
, induction électrique (ou déplacement électrique)
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
, champ magnétique
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
, excitation magnétique
j
→
{\displaystyle {\vec {j}}}
, densité de courant
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
, permittivité du vide
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
, perméabilité du vide
Démonstration à partir des équations de Maxwell
On part de la forme différentielle , dans le cas où les relations
D
→
=
ε
0
E
→
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}}
et
B
→
=
μ
0
H
→
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}}
sont vérifiées. Alors
d
i
v
Π
→
=
d
i
v
E
→
∧
B
→
μ
0
=
−
1
μ
0
E
→
⋅
r
o
t
→
B
→
+
1
μ
0
B
→
⋅
r
o
t
→
E
→
{\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=\mathrm {div} \;{\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {B}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {E}}}
en utilisant la formule d'analyse vectorielle
d
i
v
(
B
→
∧
C
→
)
=
C
→
⋅
r
o
t
→
(
B
→
)
−
B
→
⋅
r
o
t
→
(
C
→
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {div} \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)={\vec {C}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})-{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {C}})}
. Sachant que par ailleurs on a :
∇
→
×
B
→
=
μ
0
ȷ
→
+
μ
0
ε
0
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
(équation de Maxwell-Ampère), et
∇
→
×
E
→
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle \scriptstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
(équation de Maxwell-Faraday), cette quantité peut se réécrire sous la forme :
d
i
v
Π
→
=
−
1
μ
0
E
→
⋅
(
μ
0
j
→
+
μ
0
ε
0
∂
E
→
∂
t
)
+
1
μ
0
B
→
⋅
(
−
∂
B
→
∂
t
)
{\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot \left(\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)}
Soit après simplification :
d
i
v
Π
→
=
−
j
→
⋅
E
→
−
ε
0
E
→
⋅
∂
E
→
∂
t
−
1
μ
0
B
→
⋅
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
Ou encore, en notant
u
=
ε
0
E
→
2
2
+
B
→
2
2
μ
0
{\displaystyle \scriptstyle u={\frac {\varepsilon _{0}{\vec {E}}^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}^{2}}{2\mu _{0}}}}
la densité volumique d'énergie électromagnétique :
d
i
v
Π
→
=
−
j
→
⋅
E
→
−
∂
u
∂
t
{\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-{\frac {\partial u}{\partial t}}}
Voir aussi