Théorème de Monge

En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique.

Énoncé

Soit une fonction $f$ à deux variables $x$ et $y$. Soit un point critique $(x_{0},y_{0})$. On a en ce point les dérivées premières :

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})=p=0$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=q=0$

On pose pour les dérivées secondes :

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})=r$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})=s$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})=t$

Les notations $p,\,q,\,r,\,s,\,t$ sont appelées « notations de Monge ».

Le calcul du déterminant $\Delta =rt-s^{2}$ permet de distinguer les cas suivants :

• si $\Delta >0$ le point critique est un extrémum local :
  • si $r>0$, c'est un minimum ;
  • si $r<0$, c'est un maximum ;
• si $\Delta <0$, on a un point selle – ou point col ;
• si $\Delta =0$, on ne peut rien conclure et il faut mener une étude locale.

Exemples

Coniques

Pour un paraboloïde $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, le seul point critique est en $(0;0)$. On a :

$r=2,s=0,t=2\Leftrightarrow \Delta =4>0$

C'est donc un minimum (global).

Pour un hyperboloïde $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$, le seul point critique est aussi en $(0;0)$. On a :

$r=2,s=0,t=-2\Leftrightarrow \Delta =-4<0$

C'est donc un point-selle.

Surface cubique

Pour $f(x,y)=2x^{3}-y^{4}-3x^{2}$, on a deux points critiques en $(0;0)$ et $(1;0)$, mais :

$r=\pm 6,s=0,t=0\Leftrightarrow \Delta =0$

Il faut donc mener une étude locale de la fonction pour conclure.

Notes et références

• Olivier Rodot et Jean-Étienne Rombaldi, Formulaire de maths : Licence, Prépas, Capes, De Boeck Supérieur, 2022, 448 p. (ISBN 9782807341425, lire en ligne), p. 214.
• Jean-Pierre Ramis, André Warusfel, François Moulin, Xavier Buff, Emmanuel Halberstadt, Jacques Sauloy et Monique Ramis, Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, 2023, 4^e éd., 1104 p. (ISBN 9782100859474, lire en ligne), p. 821-822.
• Bernard Joppin, Analyse MP, Éditions Bréal, coll. « Les nouveaux précis Bréal » (ISBN 9782749522739, lire en ligne), p. 468.