Théorème de Jacobi

En théorie des nombres, le théorème de Jacobi précise, pour tout entier n > 0, le nombre r₄(n) de façons de décomposer n sous forme d'une somme de quatre carrés (plus précisément : le nombre de quadruplets (a, b, c, d) d'entiers relatifs tels que n = a² + b² + c² + d²) :

$r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n,~4\nmid d}d.$

Le théorème des quatre carrés de Lagrange s'en déduit.

Bibliographie

• (de) Adolf Hurwitz, Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, 1919 (lire en ligne), chap. 11, p. 58-60
• (la) C. G. J. Jacobi, « De compositione numerorum e quatuor quadratis », J. Reine Angew. Math., vol. 12,‎ 1834, p. 167-172 (lire en ligne)
• J. P. G. Lejeune-Dirichlet, « Sur l'équation $t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=4m$ », J. Math. Pures Appl., 2^e série, vol. 1,‎ 1856, p. 210-214 (lire en ligne)