Test de la dérivée première

En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable $f$ en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction $f$.

Cas général

Soit $f:\,I\,\rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto f(x)$ avec $I$ un intervalle ouvert réel (par exemple $I=]a,b[$ où $a$ et $b$ sont des réels). On suppose de plus que $f$ dérivable sur $I$ .

L'étude du signe de la dérivée $f'$ permet d'en déduire les variations de la fonction $f$ :

• Si $I_{1}\subset I$ est un intervalle tel que pour tout $x\in I_{1},$ $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I_{1}$
• Si $I_{2}\subset I$ est un intervalle tel que pour tout $x\in I_{2},$ $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I_{2}$
• Si $x\in I$ est tel que $f'(x)=0$, alors $f$ admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si $f'$change de signe en $x$ ou non).

Les points en lesquels $f'$ s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction $f$ change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général : $f'$peut s'annuler sans que $f$ ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque $f$ admet un point d'inflexion horizontal.

Exemple

Soit la fonction polynomiale définie pour tout $x\in \mathbb {R}$ par $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10$.

Utilisons le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de $f$ et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.

Dérivée

On commence par calculer la dérivée de $f$ à l'aide des formules usuelles des dérivées. Pour $x\in \mathbb {R}$,

$f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x-2)(x+1)$

On en déduit que $f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1{\text{ ou }}x=2$ et donc que la tangente à la courbe de la fonction est horizontale en $x=2$ et $x=-1$. De plus, la fonction $f'$ est strictement positive sur $]-\infty ,1[$ et $]2,+\infty [$ et strictement négative sur $]-1,2[$ (voir Fonction du second degré).

Tableau de variations

Un aperçu de la représentation graphique de $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10$ peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$17$	$\searrow$	$-10$	$\nearrow$	$+\infty$

On remarque que la fonction $f'$change de signe en $-1$ donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même en $2$ la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de $f$.

Articles connexes

• Variations d'une fonction
• Dérivation
• Théorème de Fermat sur les points stationnaires

Sources

1. https://casevitz.users.lmno.cnrs.fr/CSB/chap2.htm