Variations d'une fonction

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$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x & -\infty & & -\frac{1}{3} & & 1 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}$

Courbe de la fonction $f$ : $x$ ↦ $x^3-x^2-x+1$
et tableau de variations.

En mathématiques, les variations d'une fonction réelle d'une variable réelle sont le caractère croissant ou décroissant des restrictions de cette fonction aux intervalles sur lesquels elle est monotone. Ces informations sont couramment rassemblées dans un tableau de variations.

Lorsqu'une fonction est dérivable, ses variations peuvent être déterminées à l'aide du signe de sa dérivée.

[modifier] Notations et tableau

Une variation croissante est symbolisée par une flèche droite dirigée vers le haut à droite, tandis qu'une variation décroissante est symbolisée par une flèche dirigée en bas à droite. Le cas d'une fonction constante sur un intervalle est éventuellement noté par une flèche horizontale dirigée vers la droite.

La juxtaposition de ces flèches dans l'ordre d'occurrence des variations donne ainsi l'allure de la courbe représentative de la fonction, notamment dans un tableau de variations. En dehors de ce contexte, il peut arriver que la stricte monotonie soit précisée en répétant le symbole fléché.

[modifier] Fonctions élémentaires

Les variations des fonctions affines sont directement issues des règles arithmétiques suivantes :

l'addition ou la soustraction d'une constante (quel que soit son signe) ne change pas le sens d'une inégalité ;
la multiplication par une constante positive ne change pas le sens d'une inégalité ;
la multiplication par une constante négative renverse le sens d'une inégalité ;

Par conséquent, une fonction affine de coefficient directeur positif (telle la fonction identité) est croissante sur tout son domaine de définition. Inversement, une fonction affine de coefficient directeur négatif est toujours décroissante.

si $a > 0$		si $a = 0$		si $a < 0$
$\begin{array}{\|c\|c\|}\hline x & -\infty \quad +\infty \\ \hline a x+ b & \nearrow \\ \hline\end{array}$		$\begin{array}{\|c\|c\|}\hline x & -\infty \quad +\infty \\ \hline a x+ b & \longrightarrow \\ \hline\end{array}$		$\begin{array}{\|c\|c\|}\hline x & -\infty \quad +\infty \\ \hline a x+ b & \searrow \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{|c|rcl|}\hline x & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline x^2 & & \searrow \Big\vert\!\!_0 \nearrow & \\ \hline\end{array}$

Tableau de variations de la fonction carré.

Une identité remarquable peut être utilisée pour démontrer que la fonction carré est décroissante sur l'ensemble des réels négatifs et croissante sur l'ensemble des réels positifs.

$\begin{array}{|c|rcl|}\hline x & -\infty \quad & 0 & \quad +\infty \\ \hline \frac{1}{x} & \searrow & \Big\Vert & \searrow \\ \hline\end{array}$

Tableau de variations de la fonction inverse.

La positivité du produit et la mise au même dénominateur permet de montrer que la fonction inverse est décroissante sur l'ensemble des réels strictement positifs. Par changement de signe à la source et au but, la fonction est également décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs mais elle ne l'est pas globalement sur l'ensemble des réels non nuls.

[modifier] Fonctions composées

Si une fonction est monotone sur un intervalle $I$ à valeurs dans un intervalle $J$ et si une fonction $g$ est monotone sur $J$ , alors la composée $g \circ f$ est monotone sur $I$ et son sens est donné par une règle analogue à la règle des signes : si les deux fonctions ont le même sens de variation alors leur composée est croissante ; si elles sont de sens de variation contraires alors leur composée est décroissante.

[modifier] Fonction dérivable

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé $[a ; b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $]a ; b[$ de dérivée positive alors la fonction est croissante sur l'intervalle fermé $[a ; b]$ .

De même, si la fonction est continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert de dérivée négative alors elle est décroissante sur l'intervalle fermé.

Dans les deux cas, le théorème des accroissements finis démontre la propriété sur l'intervalle ouvert et la continuité de la fonction montre que la monotonie s'étend aux bornes.

Démonstration

Dans le cas où la dérivée est positive sur $]a ; b[$ , pour tous réels distincts $c$ et $d$ de $]a ; b[$ tels que $c < d$ , il existe un réel $\alpha$ de $]c ; d[$ avec

$f(d)-f(c)=(d-c)f'(\alpha) \ge 0.\,$

Donc la fonction f est croissante sur $]a ; b[$ .

Ensuite, pour tout $c$ dans $]a ; b[$ , puisque $f(c)\le f(d)$ pour tout $d$ vérifiant $c < d < b$ , la continuité de $f$ assure la relation $f(c) \le f(b)$ . De même, par passage à la limite en $a$ , il vient $f(a)\le f(c)$ .