Test de la dérivée première

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Le test de la dérivée première consiste à calculer la dérivée d'une fonction pour la tester ensuite.

En trouvant les points où la dérivée est nulle, il est possible de déterminer les extrema et les points d'inflexion horizontaux de la première fonction. Dans un graphique, les points où la dérivée est nulle se trouvent soit sur un plateau, soit sur un minimum/maximum local, soit sur un point d'inflexion horizontal. Celui-ci peut être global.

Il y a trois endroits où une fonction peut avoir un maximum ou un minimum, absolu ou relatif.

  1. Aux bornes du domaine de la fonction
  2. Aux points où la tangente est horizontale (f'(x) = 0 )
  3. Aux points où la tangente est verticale (f'(x) n'existe pas)

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(x)=2x^3-3x^2-12x+10. Utilisons le test de la dérivée première pour obtenir les extremums, pour éventuellement tracer le graphe de f(x).

Identifions les valeurs critiques[modifier | modifier le code]

Posons f'(x)[modifier | modifier le code]

Posons f'(x) = 0 pour identifier quand la tangente est horizontale.

f'(x)=0 ~ Posons f'(x)=0
0=6(x-2)(x+1) ~
\Leftrightarrow 0=6 \vee 0=(x-2) \vee 0=(x+1) Aucune valeur pour laquelle 0 = 6 donc éliminons-le.
\Leftrightarrow 0=(x-2) \vee 0=(x+1) Isolons x
\Leftrightarrow 2=x \vee -1=x

Donc, la tangente est horizontale en x=2 et x=-1

Vérifions quand f'(x) n'existe pas[modifier | modifier le code]

f'(x)=6(x-2)(x+1) ~

On en déduit qu'une dérivée existe pour toute valeur de x.

Tableau de valeurs[modifier | modifier le code]

x - \infty -1 ... 2 + \infty
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) \nearrow 17 \searrow -10 \nearrow

Donc, comme 17 se trouve dans un « pic » de la fonction, c'est un maximum relatif. Et comme -10 se trouve dans un « creux » de la fonction, c'est un minimum relatif.