Tension des mesures

En mathématiques, la tension est un concept de la théorie de la mesure. Intuitivement, une famille de mesures est tendue si elle ne « s'échappe pas vers l'infini ».

Définitions

Soit (X,T) un espace topologique et soit $\scriptstyle \Sigma$ une $\scriptstyle \sigma$-algèbre sur X qui contient la topologie T. Ainsi, tout ensemble ouvert de X est un ensemble mesurable et $\scriptstyle \Sigma$ est au moins aussi fine que la tribu borélienne sur X. Soit M une famille de mesures (éventuellement signées ou complexes) définies sur $\scriptstyle \Sigma$.

La famille M est dite tendue ou parfois uniformément tendue si, pour tout $\scriptstyle \varepsilon >0$, il existe un ensemble compact $\scriptstyle K_{\varepsilon }$ de X tel que, pour toutes mesures $\scriptstyle \mu$ de M :

$|\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon$

où $\scriptstyle |\mu |$ est la mesure de variation totale de $\scriptstyle \mu$.

Dans le cas des mesures de probabilité, la définition s'écrit sous la forme :

$\mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,$

Dans le cas où la famille M consiste en une seule mesure $\scriptstyle \mu$, la mesure est alors appelée mesure tendue ou peut être une mesure intérieurement régulière.

Exemples

Espaces compacts

Si X est un espace compact, alors toute famille de mesures (éventuellement complexes) sur X est tendue.

Espace polonais

Si X est un espace polonais, alors toute mesure de probabilité sur X est tendue. De plus, par le théorème de Prokhorov, une famille de mesures de probabilité est tendue si et seulement si elle est relativement compacte pour la topologie de la convergence faible des mesures.

Famille de mesures ponctuelles

Considérons la ligne réelle $\scriptstyle \mathbb {R}$ munie de la topologie borélienne. Soit $\scriptstyle \delta _{x}$ la mesure de Dirac ayant une unique masse au point x. La famille

$M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}$

n'est pas tendue, puisque les sous-ensembles compacts de $\scriptstyle \mathbb {R}$ sont précisément les ensembles fermés bornés, et ces ensembles ont une masse nulle pour les mesures $\scriptstyle \delta _{n}$ pour n suffisamment grand.

Cependant, la famille

$M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}$

est tendue, en effet, l'intervalle [0,1] est considéré comme $\scriptstyle K_{\eta }$ pour tout $\scriptstyle \eta >0$. En général, une famille de mesures de Dirac sur $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ est tendue si et seulement si la famille de leur support est bornée.

Famille de mesures gaussiennes

Considérons l'espace euclidien $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ muni de sa tribu borélienne usuelle. Considérons une famille de mesures gaussiennes :

$\Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},$

où la mesure $\scriptstyle \gamma _{i}$ sur $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ a pour moyenne $\scriptstyle \mu _{i}$ et pour variance $\scriptstyle \sigma _{i}^{2}$. Alors la famille $\scriptstyle \Gamma$ est tendue si et seulement si les familles $\scriptstyle \{\mu _{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ et $\scriptstyle \{\sigma _{i}^{2}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R}$ sont toutes deux bornées.

Tension et convergence

La tension est souvent un critère nécessaire pour démontrer la convergence faible d'une suite de mesures de probabilité, plus particulièrement quand l'espace des mesures est de dimension infinie. Voir :

• Tension dans l'espace de Skorokhod

Tension exponentielle

La tension exponentielle est une généralisation de la tension des mesures qui a des applications pour le principe de grandes déviations. Une famille de lois de probabilité $\scriptstyle (\mu _{\delta },\delta >0)$ sur un espace topologique séparé X est exponentiellement tendue si, pour tout $\scriptstyle \eta >0$, il existe un sous-ensemble compact $\scriptstyle K_{\eta }$ de X tel que

$\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\eta })<-\eta .$

Bibliographie

• (en) Patrick Billingsley, Probability and Measure, New York, NY, John Wiley & Sons, Inc., 1995 (ISBN 0-471-00710-2)
• (en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, New York, NY, John Wiley & Sons, Inc., 1999 (ISBN 0-471-19745-9)
• (en) Michel Ledoux et Michel Talagrand, Probability in Banach spaces, Berlin, Springer-Verlag, 1991 (ISBN 3-540-52013-9), xii+480 lien Math Reviews (voir chapitre 2)