Selle de singe

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La selle de singe

En mathématiques, la selle de singe est une surface définie par l’équation

 z = x^3 - 3xy^2. \,

Elle appartient aux surfaces en forme de selle (en) et son nom vient du fait qu'une selle pour un singe nécessite trois creux : deux pour les jambes et une pour la queue. Le point (0,0,0) sur la selle de cheval correspond au point critique dégénéré de la fonction z(x,y) en (0, 0). La selle de cheval a un ombilic isolé avec une courbure de Gauss nulle à l'origine alors que la courbure est strictement négative pour tous les autres points.

Pour montrer que la selle de singe a trois creux, soit l'équation complexe z telle que

 z(x,y) = \operatorname{Re} (x+iy)^3.

Il en découle que z(tx,ty) = t3 z(x,y) pour t ≥ 0, donc la surface est définie par z sur le cercle unité. En paramétrant cela par eiφ, avec φ ∈ [0, 2π), on voit que sur le cercle unitaire z(φ) = cos 3φ, donc z a trois creux. En remplaçant 3 par n'importe quel entier k ≥ 1 on peut créer une selle avec k creux.

Notes et références[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]